Question

13．如圖所示，質量為m的小球置于正方體的光滑硬質盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑．某同學拿著該盒子在豎直平面內做半徑為R的勻速圓周運動，已知重力加速度為g，空氣阻力不計，要使盒子在最高點A時盒子與小球之間恰好無作用力，則該盒子在B點（與圓心O等高）時的速度大小為$\sqrt{gR}$、盒子對球的作用力大小為$\sqrt{2gR}$．

Answer 1

分析 根據盒子在最高點A時盒子與小球之間恰好無作用力，由臨界條件可得A點時速度，小球做勻速圓周運動，所以小球在B點速度與A點相同，在B點小球所受的合力提供圓周運動的向心力，根據牛頓第二定律判斷盒子右側對小球的作用力，盒子下側對小球還有作用力，兩個力合成就是盒子對球的作用力．

解答 解：盒子在最高點，若盒子與小球間恰好無作用力，則小球的重力提供向心力，有：
$mg=m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
由于盒子做勻速圓周運動故：${v}_{B}={v}_{A}=\sqrt{gR}$
在B點時有：F=$\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$，F方向指向圓心O
解得：F=mg盒子對小球還有向上的作用力，大小為mg故盒子對小球的作用力大小為$\sqrt{2gR}$；
故答案為：$\sqrt{gR}$，$\sqrt{2gR}$

點評 解決本題的關鍵知道向心力的來源，運用牛頓第二定律和動能定理進行求解．