Question

15．如圖，太陽系中星體A繞太陽做半徑為R₁的圓周運動，星體B作拋物線運動．B在近日點處與太陽的相距為R₂=2R₁，且兩軌道在同一平面上，兩星體運動方向如圖中箭頭所示．設B運動到近日點時，A恰好運動到B與太陽連線上，A、B隨即發(fā)生某種強烈的相互作用而迅速合并成一個新的星體，其間的質(zhì)量損失可忽略．試證明新星體繞太陽的運動軌道為橢圓．

Answer 1

分析 A、B星體靠攏過程中動量守恒，從而求出新星體C的速度，計算C新星體的機械能判斷軌道的形狀是否為橢圓．

解答 證明：計算新星體C的機械能，設C距日R₃，設A、B星球的速度分別為v_A和v_B，則：
在徑向：可以認為在A、B靠攏過程中質(zhì)心未動，所以C到太陽的距離為
R₃=$\frac{{m}_{A}{R}_{1}+{m}_{B}{R}_{2}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$=$\frac{{m}_{A}+2{m}_{B}}{{m}_{A}+{m}_{B}}{R}_{1}$     ①
在切向：A、B合并過程中動量也守恒，則有（m_A+m_B）v_C=m_Av_A+m_Bv_B     ②
研究②中的v_A、v_B：
因A做圓周運動，故v_A=$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{1}}}$
所以v_B=$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{2}}}$=$\sqrt{\frac{2GM￢}{2{R}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{1}}}$=v_A
將v_A、v_B帶入②得v_C=$\sqrt{\frac{2GM}{{R}_{1}}}$      ③
利用①③C星體的機械能為
E_C=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）${v}_{C}^{2}$-G$\frac{M（{m}_{A}+{m}_{B}）}{{R}_{C}}$=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）$\frac{2GM}{{R}_{1}}$-$\frac{GM（{m}_{A}+{m}_{B}）}{\frac{{m}_{A}+2{m}_{B}}{{m}_{A}+{m}_{B}}{R}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$G$\frac{M{m}_{A}（{m}_{A}+{m}_{B}）}{（{m}_{A}+2{m}_{B}）{R}_{1}}＜0$
因此，新星體C的軌道為橢圓．

點評 本題難度很大，關(guān)鍵是運用了選修3-5知識點動量守恒定律，同學們平時學習時要學會構(gòu)建物理模型，記住有用的結(jié)論，本題中動量守恒定律，機械能、萬有引力定律等知識點，平時學習要各個擊破．