Question

9．如圖所示，為一磁約束裝置的原理圖，同心圓內(nèi)存在有垂直圓平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，同心圓圓心O與xOy平面坐標(biāo)系原點(diǎn)重合．半徑為R₀的圓形區(qū)域Ⅰ內(nèi)有方向垂直xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁．一束質(zhì)量為m、電荷量為q、動(dòng)能為E₀的帶正電粒子從坐標(biāo)為（0、R₀）的A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ，粒子全部經(jīng)過(guò)x軸上的P點(diǎn)，方向沿x軸正方向．當(dāng)在環(huán)形區(qū)域Ⅱ加上方向垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂時(shí)，上述粒子仍從A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，粒子恰好能夠約束在環(huán)形區(qū)域內(nèi)，且經(jīng)過(guò)環(huán)形區(qū)域Ⅱ后能夠從Q點(diǎn)沿半徑方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，已知OQ與x軸正方向成60°．不計(jì)重力和粒子間的相互作用．求：
（1）區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大��；
（2）環(huán)形區(qū)域Ⅱ中B₂的大小、方向及環(huán)形外圓半徑R的大��；
（3）粒子從A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入后至第一次到Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在區(qū)域Ⅰ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系求半徑，根據(jù)牛頓第二定律及動(dòng)能定義式聯(lián)立列式
（2）畫出粒子在區(qū)域Ⅱ中的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求半徑，根據(jù)牛頓第二定律求${B}_{2}^{\;}$，由左手定則求磁場(chǎng)方向
（3）求出軌跡所對(duì)的圓心角，根據(jù)$t=\frac{θ}{360}T$求出時(shí)間

解答 解：（1）設(shè)在區(qū)域Ⅰ內(nèi)軌跡圓半徑為r₁，
則  r₁=R₀
根據(jù)牛頓第二定律：$qv{B_1}=m\frac{v^2}{r_1}$
動(dòng)能的定義：${E}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
${B}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{2m{E}_{0}^{\;}}}{q{R}_{0}^{\;}}$
（2）設(shè)粒子在區(qū)域Ⅱ中的軌跡圓半徑為${r}_{2}^{\;}$，部分軌跡如圖，有幾何關(guān)系知     
${r}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{3}}{3}{r}_{1}^{\;}$  
根據(jù)牛頓第二定律：$qv{B_2}=m\frac{v^2}{r_2}$
${B}_{2}^{\;}$=$\frac{\sqrt{6m{E}_{0}^{\;}}}{q{R}_{0}^{\;}}$
方向與${B}_{1}^{\;}$相反，即垂直xOy平面向外   
由幾何關(guān)系得$R=\frac{r_2}{sin30°}+{r_2}=3{r_2}$，
即$R=\sqrt{3}{R}_{0}^{\;}$
（3）由題意可知    $t=（\frac{1}{4}{T_1}+\frac{2}{3}{T_2}）$
 ${T}_{1}^{\;}=\frac{2πm}{q{B}_{1}^{\;}}$，${T}_{2}^{\;}=\frac{2πm}{q{B}_{2}^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)得$t=（\frac{{2\sqrt{6}}}{9}+\frac{{\sqrt{2}}}{4}）•\frac{{π{R_0}\sqrt{m{E_0}}}}{E_0}$
答：（1）區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}^{\;}}}{q{R}_{0}^{\;}}$；
（2）環(huán)形區(qū)域Ⅱ中B₂的大小$\frac{\sqrt{6m{E}_{0}^{\;}}}{q{R}_{0}^{\;}}$、方向與${B}_{1}^{\;}$相反，即垂直xoy平面向外，及環(huán)形外圓半徑R的大小$\sqrt{3}{R}_{0}^{\;}$；
（3）粒子從A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入后至第一次到Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間$（\frac{2\sqrt{6}}{9}+\frac{\sqrt{2}}{4}）•\frac{π{R}_{0}^{\;}\sqrt{m{E}_{0}^{\;}}}{{E}_{0}^{\;}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解決本題的關(guān)鍵掌握帶電粒子在有界磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何確定圓心、半徑．