Question

2．宇航員站在一星球表面上的某高處，以初速度v₀沿水平方向拋出一個小球，經(jīng)過時間t，球落到星球表面，小球落地時的速度大小為$\sqrt{2}$v₀．已知該星球的半徑為R，引力常量為G，求：
（1）該星球的質(zhì)量M；
（2）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）小球做平拋運(yùn)動，先根據(jù)平拋運(yùn)動的公式求出該星球上的重力加速度，再使用萬有引力定律，即可解題；
（2）星于對衛(wèi)星的萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力求解人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度即第一宇宙速度．

解答 解：（1）小球豎直方向上：v_y=gt
解得星球表面的重力加速度為：$g=\frac{v_y}{t}=\frac{v_0}{t}$
星球表面的重力等于萬有引力，有：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
聯(lián)立解得：$M=\frac{{{R^2}{v_0}}}{Gt}$
（2）對近地衛(wèi)星：$mg=m\frac{v^2}{R}$
解得：$v=\frac{{\sqrt{{v_0}tR}}}{t}$，即為該星球第一宇宙速度．
答：（1）該星球的質(zhì)量為$M=\frac{{{R^2}{v_0}}}{Gt}$；
（2）該星球的第一宇宙速度為$v=\frac{{\sqrt{{v_0}tR}}}{t}$．

點(diǎn)評 該題將萬有引力定律與平拋運(yùn)動結(jié)合起來考查，關(guān)鍵要理清解題的思路，難度中等．掌握規(guī)律是關(guān)鍵．注意對第一宇宙速度的理解．