Question

水平放置的木柱，橫截面為邊長(zhǎng)等于a的正四邊形ABCD；擺長(zhǎng)4a的擺，懸掛在A點(diǎn)，如圖所示，開始時(shí)質(zhì)量為m的擺球處在與A等高的P點(diǎn)，這時(shí)擺線沿水平方向伸直；已知擺線能承受的最大拉力為7mg；若以初速度v₀豎直向下將擺球從P點(diǎn)拋出，為使擺球能始終沿圓弧運(yùn)動(dòng)，并最后擊中A點(diǎn)．求v₀的許可值范圍（不計(jì)空氣阻力）．

Answer 1

分析：擺球先后以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑分別為R₁=4a，R₂=3a，R₃=2a，R₄=a為半徑各作四分之一圓周的圓運(yùn)動(dòng)．根據(jù)動(dòng)能定理求出擺球沿半徑4a運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度、沿半徑3a運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出擺球經(jīng)過這兩個(gè)位置時(shí)擺線的拉力，當(dāng)擺球繞C點(diǎn)以半徑2a運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，要能沿圓弧運(yùn)動(dòng)，擺球經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求得臨界速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出擺球經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)v₀的最小值．當(dāng)擺球開始繞D點(diǎn)以半徑R₄=a作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)擺線拉力達(dá)到最大，求出初速度的最大值，即可v₀的范圍．

解答：解：擺球先后以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑分別為R₁=4a，R₂=3a，R₃=2a，R₄=a為半徑各作四分之一圓周的圓運(yùn)動(dòng)．

①當(dāng)擺球從P點(diǎn)開始，沿半徑4a運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度v₁，
根據(jù)動(dòng)能定理：4mga=

1

2

mv12-

1

2

mv012
當(dāng)擺球開始以v₁繞B點(diǎn)以半徑3a作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺線拉力為T₁：
這時(shí)擺球的運(yùn)動(dòng)方程為：T1-mg=m

v12

3a

擺線的最大拉力為：T_max=7mg；
由此求得：v₀₁＜

10ga

．
②當(dāng)擺球從B點(diǎn)開始，沿半徑3a運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)的速度v₂，
根據(jù)動(dòng)能定理：mga=

1

2

mv22-

1

2

mv022
當(dāng)擺球開始以v₂繞C點(diǎn)以半徑2a作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺線拉力為T₂：
這時(shí)擺球的運(yùn)動(dòng)方程為：T2=m

v22

2a

擺線的最大拉力為：T_max=7mg；
由此求得：v₀₂＜

12ga

．
③當(dāng)擺球繞C點(diǎn)以半徑2a運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，為確保沿圓周運(yùn)動(dòng)，
到達(dá)最高點(diǎn)有：mg=m

v32

2a

v3≥

gR3

=

2ga

．
由動(dòng)能定理：-mga=

1

2

mv32-

1

2

mv0_2
由此求得：v₀₃＞2

ga

④當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)，擊中A點(diǎn)時(shí)的速度v₀₄，
根據(jù)動(dòng)能定理：0=

1

2

mv42-

1

2

mv042
當(dāng)擺球開始以v₄繞D點(diǎn)以半徑R₃=a作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺線拉力為T₃：
這時(shí)擺球的運(yùn)動(dòng)方程為：T3=m

v42

a

擺線的最大拉力為：T_max=7mg；
由此求得：v₀₄＜

7ga

．
綜上所述：2

ga

＜v0＜

7ga

．
答：v₀的許可值范圍為：2

ga

＜v0＜

7ga

．

點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)能定理與向心力臨界條件的結(jié)合，關(guān)鍵是分析擺球的運(yùn)動(dòng)過程，把握臨界條件．