Question

【題目】如圖所示的xOy坐標系中，y軸右側空間存在范圍足夠大的勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于xOy平面向里．P點的坐標為（﹣6L，0），Q1、Q2兩點的坐標分別為（0，3L），（0，﹣3L）．坐標為（﹣L，0）處的C點固定一平行于y軸放置一足夠長的絕緣彈性擋板，帶電粒子與彈性絕緣擋板碰撞前后，沿y方向分速度不變，沿x方向分速度反向，大小不變．帶負電的粒子質量為m，電量為q，不計粒子所受重力．若粒子在P點沿PQ1方向進入磁場，經磁場運動后，求：

（1）只與擋板碰撞一次并能回到P點的粒子初速度大��；
（2）粒子能否經過坐標原點O之后再回到P點；
（3）只與擋板碰撞三次并能回到P點的粒子初速度大小以及這種情況下擋板的長度至少為多少．

Answer 1

【答案】
（1）解：粒子與擋板只碰撞一次，粒子運動的軌跡如圖一所示，粒子運動的軌道半徑為R，碰撞前后出入磁場兩點之間的距離為L

則：根據幾何關系可得：4Rcosθ﹣L=6L，其中：cosθ=

解得：R= ①

根據半徑公式：R= ②

聯立①②式可得：v=

答：只與擋板碰撞一次并能回到P點的粒子初速度大小為 ；

（2）設粒子在x軸上方與擋板碰撞n次，

每次圓周運動，粒子位置沿y軸向下平移的距離為2Rcosθ，

與擋板相碰后，粒子位置向上平移的距離為L，

一次周期性運動粒子沿y軸共向下平移為2Rcosθ﹣L，

要使粒子經過坐標原點O之后再回到P點需滿足：

（n﹣1）（2Rcosθ﹣L）+2Rcosθ=3L （n=2，3，4…） ③

聯立②③式子可得：v= （n=2，3，4…）

所以，只要粒子速度滿足v= （n=2，3，4…）粒子就可以經過坐標原點O之后再回到P點（圖二為n=2時的過程圖）

答：粒子能經過坐標原點O之后再回到P點；

（3）若與擋板碰撞三次，如圖二所示，設擋板的長度L0

根據幾何關系可得：3（2Rcosθ﹣L）+2Rcosθ=6L

解得：R= ④

根據半徑公式：R= 可得：v= ⑤

聯立④⑤式子可得：擋板的長度的最小值L0=2（2Rcosθ﹣L）=2.5L

答：只與擋板碰撞三次并能回到P點的粒子初速度大小以及這種情況下擋板的長度至少為2.5L．

【解析】（1）首先根據題目已知作出粒子運動的軌跡圖，求解帶電粒子在勻強磁場中運動的情況，先結合幾何關系求出粒子在磁場中運動的軌道半徑，由洛倫茲力提供向心力找出半徑公式，根據半徑公式求出粒子的速度．
（2）粒子進入磁場后做周期性運動，分析粒子一個周期的運動情況，根據幾何關系以及對稱性．即可求出粒子經過坐標原點O之后再回到P點所滿足的關系式；
（3）粒子與擋板碰撞三次并能回到P點，作出軌跡圖，結合幾何關系，運用半徑公式進行求解．