Question

17．如圖所示，由噴泉中噴出的水柱，把一個重為W的垃圾桶倒頂在空中．水以速率v₀、恒定的質量增率（即單位時間噴出的質量）$\frac{△m}{△t}$從地下射向空中．求垃圾桶可停留的最大高度．設水柱噴到桶底后以相同的速率反彈．

Answer 1

分析 設垃圾桶可停留的最大高度為h．由運動學公式表示出h與速度的關系．研究極短時間內水受到的沖量，根據(jù)沖力等于垃圾桶的重力，求出水的速度，從而求得高度．

解答 解：設垃圾桶可停留的最大高度為h，并設水柱到達h高處的速率為v，則v滿足：
    v²-v₀²=-2gh
得 v²=v₀²-2gh
由動量定理得：在極短時間△t內，水受到的沖量為
   F△t=2（$\frac{△m}{△t}$•△t）v
解得 F=2$\frac{△m}{△t}$•v=2$\frac{△m}{△t}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2gh}$
據(jù)題有 F=Mg
聯(lián)立解得  h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$-$\frac{{M}^{2}g}{8}（\frac{△t}{△m}）^{2}$
答：垃圾桶可停留的最大高度是$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$-$\frac{{M}^{2}g}{8}（\frac{△t}{△m}）^{2}$．

點評 本題要理清題意，建立物理模型：豎直上拋運動和碰撞的綜合，運用運動學公式和動量定理結合研究．