Question

16．中國設(shè)計(jì)的火星探測器和探測車外觀，于本月23日首次亮相，預(yù)定2020年執(zhí)行中國首次火星探測任務(wù)，一次實(shí)現(xiàn)“環(huán)繞、著陸、巡視”三個目標(biāo)．火星（mars）是太陽系八大行星之一，被認(rèn)為是最適宜人類居住的星球之一．火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，火星的半徑約為地球的$\frac{1}{2}$倍．但火星在許多方面與地球較為相像：火星自轉(zhuǎn)周期幾乎與地球相同，火星自轉(zhuǎn)軸的傾角也幾乎和地球相同．火星與地球明顯不同的是，火星的公轉(zhuǎn)周期幾乎是地球公轉(zhuǎn)周期的兩倍，所以，火星上每個季節(jié)要持續(xù)六個月，而不是三個月． 根據(jù)上述敘述，下列判斷不正確的是（　　）

• A． 火星、地球繞太陽運(yùn)動的軌道半徑之比約為1：2
• B． 火星表面、地球表面的重力加速度之比約為1：3
• C． 火星、地球的第一宇宙速度之比約為$\sqrt{2}$：3
• D． 火星的公轉(zhuǎn)速度比地球的公轉(zhuǎn)速度大，火星探測器登陸后其長度將變短

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，解出線速度、周期與軌道半徑大小的關(guān)系，由火星的火星的公轉(zhuǎn)周期幾乎是地球公轉(zhuǎn)周期的兩倍，可得火星、地球繞太陽運(yùn)動運(yùn)動的軌道半徑之比，再由$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$比較公轉(zhuǎn)速度；根據(jù)重力等于萬有引力，可以求得星球表面的重力加速度之比；根據(jù)第一宇宙速度$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$求火星、地球的第一宇宙速度之比．

解答 解：A、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，根據(jù)題意$\frac{{T}_{火}^{\;}}{{T}_{地}^{\;}}=\sqrt{\frac{{r}_{火}^{3}}{{r}_{地}^{3}}}=\frac{2}{1}$，得$\frac{{r}_{火}^{\;}}{{r}_{地}^{\;}}=\frac{\root{3}{4}}{1}$，故A錯誤；
B、根據(jù)星球表面物體的重力等于萬有引力，有$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$，火星表面與地球表面的重力加速度$\frac{{g}_{火}^{\;}}{{g}_{地}^{\;}}=\frac{{M}_{火}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}×\frac{{R}_{地}^{2}}{{R}_{火}^{2}}=\frac{1}{9}×\frac{4}{1}=\frac{4}{9}$，故B錯誤；
C、第一宇宙速度即近地衛(wèi)星的速度，$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，解得${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，所以火星、地球的第一宇宙速度之比$\frac{{v}_{1火}^{\;}}{{v}_{1地}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{火}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{\;}}{{R}_{火}^{\;}}}=\sqrt{\frac{1}{9}×\frac{2}{1}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，故C正確；
D、公轉(zhuǎn)速度$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，火星的軌道半徑大于地球的軌道半徑，所以火星的公轉(zhuǎn)速度比地球的公轉(zhuǎn)速度小，故D錯誤；
故選：C

點(diǎn)評 本題考查萬有引力定律的應(yīng)用，要掌握萬有引力提供向心力，并能夠根據(jù)題意選擇不同的向心力的表達(dá)式．