Question

13．如圖所示，有一半圓，其直徑水平與另一圓的底部相切于圓心O點，現有兩條光滑軌道AB、CD，兩軌道都經過切點O，A、C、B、D分別位于上下兩圓的圓周上．現在讓一物塊先后從兩軌道頂端A、C由靜止下滑經O點至底端B、D，則物塊在每一段傾斜軌道上滑動時所經歷的時間關系為（　�。�

• A． t_AO＜t_CO
• B． t_AO＞t_CO
• C． t_AB＞t_CD
• D． t_AB=t_CD

Answer 1

分析 根據幾何關系求出軌道的長度，結合牛頓第二定律求出物塊下滑的加速度，根據位移時間公式求出物塊在滑動時經歷的時間大小關系．

解答 解：AB、設AB與水平方向的夾角為θ，上邊的圓半徑為R，下面的半圓半徑為r，如圖所示：
對AO邊：由幾何關系可得AO=2Rsinθ，
物塊在AB上滑動的加速度大小為a，根據牛頓第二定律可得：mgsinθ=ma，
解得：a=gsinθ；
根據位移時間關系可得：2Rsinθ=$\frac{1}{2}a{t}_{AO}^{2}$
解得：t_AO=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$；
由此可知，從A、C到O下滑的時間與傾角無關，所以有：t_AO=t_CO，AB錯誤；
CD、對AB邊：AB的長度為L=2Rsinθ+r，
根據運動學公式可得：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
解得：$t=\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{4R}{g}+\frac{2r}{gsinθ}}$；
由圖可知，CD的傾角大于AB的傾角，傾角越大sinθ越大，則滑塊經過的時間越短，
所以有：t_AB＞t_CD，C正確、D錯誤．
故選：C．

點評 本題主要是考查了“等時圓”的問題，解決本題的關鍵通過牛頓第二定律和運動學公式得出時間的表達式，結合角度的大小關系進行比較．