Question

20．如圖所示，水平圓形轉(zhuǎn)臺(tái)能繞過圓心的豎直轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)半徑R=1m，在轉(zhuǎn)臺(tái)的邊緣疊放物體A、B（均可看作質(zhì)點(diǎn)），A，B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.6，B與轉(zhuǎn)臺(tái)之間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.7，且m_A=1kg，m_B=4kg，（g取10m/s²，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力）

（1）當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)以ω₁=2rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如圖a，此時(shí)B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的摩擦力是多少？
（2）現(xiàn)用一根長(zhǎng)l=$\sqrt{2}$m的輕繩將B，C相連，輕繩能夠承受的最大拉力為10$\sqrt{2}$N，C物體（可看作質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量m_C=1kg，讓轉(zhuǎn)臺(tái)從靜止緩慢加速轉(zhuǎn)動(dòng)至ω₁=$\sqrt{7}$rad/s的過程中，如圖b，求B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)摩擦力第一次發(fā)生突變時(shí)的角速度并寫出此后B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的摩擦力與角速度的函數(shù)關(guān)系（要求寫出必要的計(jì)算推理過程）

Answer 1

分析 （1）A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由靜摩擦力提供，則當(dāng)A的摩擦力達(dá)到最大值時(shí)，角速度最大值，求出最大角速度，與題中所給的角速度比較分析求解；
（2）剛開始，ABC三個(gè)物體都做做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，隨著角速度的增大，當(dāng)繩子剛好斷裂時(shí)，B受到的摩擦力發(fā)生突變，對(duì)C受力分析，根據(jù)向心力公式求解此時(shí)的角速度，繩子斷掉后，AB一起繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，受力分析，根據(jù)（1）中所求角速度判斷AB分離的角速度，此后B繼續(xù)繞軸做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)靜摩擦力提供向心力結(jié)合牛頓第三定律求出B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的摩擦力與角速度的函數(shù)關(guān)系．

解答 解：（1）A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由靜摩擦力提供，則當(dāng)A的摩擦力達(dá)到最大值時(shí)，角速度最大值，則有
${μ}_{1}{m}_{A}g={m}_{A}{{ω}_{Amax}}^{2}R$
解得：ω_Amax=$\sqrt{6}rad/s$
因?yàn)棣?SUB>1=2rad/s$＜\sqrt{6}rad/s$，則AB相對(duì)靜止，把AB看成一個(gè)整體，由轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)B的摩擦力提供向心力得：
f=$（{m}_{A}+{m}_{B}）{{ω}_{1}}^{2}R$=（1+4）×2²×1=20N
根據(jù)牛頓第三定律可知，此時(shí)B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的摩擦力是20N；
（2）剛開始，ABC三個(gè)物體都做做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，隨著角速度的增大，當(dāng)繩子剛好斷裂時(shí)，B受到的摩擦力發(fā)生突變，此時(shí)對(duì)C受力分析，受到重力，繩子的拉力，合力提供向心力，設(shè)此時(shí)繩子與豎直方向的夾角為θ，則有：
sin$θ=\frac{mg}{T}=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以θ=45°，
C繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為：
r=R+lsin45°=1+$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=2m，
根據(jù)向心力公式得：
Tcos45°=${m}_{C}{ω′}^{2}r$
解得：$ω′=\sqrt{5}rad/s$，即B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)摩擦力第一次發(fā)生突變時(shí)的角速度為$\sqrt{5}rad/s$，
繩子斷掉后，AB一起繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)$ω＞\sqrt{6}rad/s$時(shí)，AB分離，A做離心運(yùn)動(dòng)，B繼續(xù)繞軸做圓周運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)B達(dá)到最大靜摩擦?xí)r，B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度最大，則${μ}_{2}{m}_{B}g={m}_{B}{{ω}_{Bmax}}^{2}R$，
解得：${ω}_{Bmax}=\sqrt{7}rad/s$，
則當(dāng)$\sqrt{5}rad/s＜ω≤\sqrt{6}rad/s$時(shí)，B受到的摩擦力與角速度的函數(shù)關(guān)系為：f=$（{m}_{A}+{m}_{B}）{{ω}_{\;}}^{2}R$=5ω²，
當(dāng)$\sqrt{6}rad/s＜ω≤\sqrt{7}rad/s$時(shí)，B受到的摩擦力與角速度的函數(shù)關(guān)系為：f=${m}_{B}{{ω}_{\;}}^{2}R$=4ω²，
根據(jù)牛頓第三定律可知：則當(dāng)$\sqrt{5}rad/s＜ω≤\sqrt{6}rad/s$時(shí)，B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的摩擦力與角速度的函數(shù)關(guān)系為：f=$（{m}_{A}+{m}_{B}）{{ω}_{\;}}^{2}R$=5ω²，
當(dāng)$\sqrt{6}rad/s＜ω≤\sqrt{7}rad/s$時(shí)，B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的摩擦力與角速度的函數(shù)關(guān)系為f=${m}_{B}{{ω}_{\;}}^{2}R$=4ω²．
答：（1）當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)以ω₁=2rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如圖a，此時(shí)B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的摩擦力是20N；
（2）B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)摩擦力第一次發(fā)生突變時(shí)的角速度為$\sqrt{5}rad/s$，此后，當(dāng)$\sqrt{5}rad/s＜ω≤\sqrt{6}rad/s$時(shí)，B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的摩擦力與角速度的函數(shù)關(guān)系為f=$（{m}_{A}+{m}_{B}）{{ω}_{\;}}^{2}R$=5ω²，當(dāng)$\sqrt{6}rad/s＜ω≤\sqrt{7}rad/s$時(shí)，B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的摩擦力與角速度的函數(shù)關(guān)系為f=${m}_{B}{{ω}_{\;}}^{2}R$=4ω²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向心力公式的直接應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確對(duì)物體進(jìn)行受力分析，知道B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)摩擦力第一次發(fā)生突變時(shí)的臨界條件，特別注意C做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是C到轉(zhuǎn)軸的距離，難度較大，屬于難題．