Question

1．如圖所示，在坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)有方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第二象限內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁（未知）、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第三、四象限內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂（未知）、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一帶電荷量為q、質(zhì)量為m的帶負(fù)電的粒子，從x軸上的P點(diǎn)（-L，0），沿與x軸負(fù)方向成37°角的方向向上射出，射出時(shí)的初速度大小為v₀，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，垂直通過y軸，粒子運(yùn)動(dòng)過程中第一次通過x軸時(shí)，速度方向與x軸的正方向剛好成37°角，又經(jīng)過一段時(shí)間剛好從P點(diǎn)第二次通過x軸．不計(jì)粒子的重力．求：（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小及粒子第一次通過y軸的位置；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度E及磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大�。�
（3）粒子從P點(diǎn)出發(fā)再回到P點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）作出粒子整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求解粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解粒子通過y軸的位置坐標(biāo)；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)和速度分解求解粒子通過x軸的速度，根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子在三、四象限內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）分別求出粒子在第二象限的運(yùn)動(dòng)時(shí)間、在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間、在第三、四象限中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可得到從P點(diǎn)出發(fā)到再回到P點(diǎn)經(jīng)過的時(shí)間．

解答 解：（1）粒子經(jīng)過磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，垂直通過y軸，因此粒子在第二象限的磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在y軸上，作出粒子整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程軌跡如圖所示，
根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：R₁=$\frac{L}{sin37°}$=$\frac{5}{3}L$，
根據(jù)qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$解得：B₁=$\frac{3m{v}_{0}}{5qL}$；
粒子第一次通過y軸的位置為：y=R₁+R₁cos37°=3L，
因此通過y軸的位置坐標(biāo)為（0，3L）；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，第一次通過x軸時(shí)，速度方向與x軸正方向夾角為37°，
則粒子通過x軸時(shí)，在電場(chǎng)中沿x軸方向的位移為：x=v₀t₁，
y方向的位移為：y=$\frac{1}{2}{v}_{y}{t}_{1}$，
又tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，qE=ma，
解得：x=8L，E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{32qL}$；
粒子通過x軸的速度為：v₁=$\frac{{v}_{0}}{cos37°}$=$\frac{5}{4}{v}_{0}$，
根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子在三、四象限內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：
R₂=$\frac{4.5L}{cos53°}$=7.5L，
根據(jù)qv₁B₂=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{2}}$解得：B₂=$\frac{m{v}_{0}}{6qL}$；
（3）粒子在第二象限的運(yùn)動(dòng)周期為：T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$，
在第二象限的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₀=$\frac{143}{360}{T}_{1}$，
在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₁=$\frac{8L}{{v}_{0}}$，
在第三、四象限中運(yùn)動(dòng)周期為：T₂=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$，
在第三、四象限中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₂=$\frac{286}{360}{T}_{2}$，
因此從P點(diǎn)出發(fā)到再回到P點(diǎn)經(jīng)過的時(shí)間為：t=t₀+t₁+t₂=（$\frac{5863π}{540}+8$）$\frac{L}{{v}_{0}}$．
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小及粒子第一次通過y軸的位置為（0，3L）；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度E及磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小為$\frac{m{v}_{0}}{6qL}$；
（3）粒子從P點(diǎn)出發(fā)再回到P點(diǎn)所用的時(shí)間為（$\frac{5863π}{540}+8$）$\frac{L}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況分析，一般是確定圓心位置，根據(jù)幾何關(guān)系求半徑，結(jié)合洛倫茲力提供向心力求解未知量；根據(jù)周期公式結(jié)合軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角求時(shí)間；對(duì)于帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般是按類平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)進(jìn)行解答．