Question

如圖所示，一質(zhì)量M=1.0kg的砂擺，用輕繩懸于天花板上O點．另有一玩具槍能連續(xù)發(fā)射質(zhì)量m=0.01kg，速度v=4.0m/s的小鋼珠．現(xiàn)將砂擺拉離平衡位置，由高h=0.20m處無初速度釋放，恰在砂擺向右擺到最低點時，玩具槍發(fā)射的第一顆小鋼珠水平向左射入砂擺，二者在極短時間內(nèi)達到共同速度．不計空氣阻力，取g=10m/s²．
（1）求第一顆小鋼珠射入砂擺前的瞬間，砂擺的速度大小v₀；
（2）求第一顆小鋼珠射入砂擺后的瞬間，砂擺的速度大小v₁；
（3）第一顆小鋼珠射入后，每當砂擺向左運動到最低點時，都有一顆同樣的小鋼珠水平向左射入砂擺，并留在砂擺中．當?shù)趎顆小鋼珠射入后，砂擺能達到初始釋放的高度h，求n．

Answer 1

分析：（1）在砂擺向下運動的過程中，只有重力做功，由動能定理或機械能守恒定律可以求出砂擺到達水平位置時的速度．
（2）鋼珠射入砂擺的過程中，兩者組成的系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律可以求出鋼珠射入砂擺后的瞬間，砂擺的速度．
（3）鋼珠射入砂擺的過程中，系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律可以求出n顆鋼珠射入砂擺后，砂擺的速度；砂擺要回到釋放時的高度，砂擺在最低點時的速度應大于等于砂擺第一次到達最低點時的速度．

解答：解：（1）砂擺從釋放到最低點，由動能定理：
Mgh=

1

2

Mv₀^2-0，解得：v₀=

2gh

=2m/s；
（2）小鋼球打入砂擺過程系統(tǒng)動量守恒，選向右為正方向，
由動量守恒定律得：Mv₀-mv=（M+m）v₁，
解得：v₁=

Mv0-mv

M+m

≈1.94m/s；
（3）第2顆小鋼球打入過程，選向左為正方向，
由動量守恒定律得：（M+m）v₁+mv=（M+2m）v₂，
第3顆小鋼球打入過程，同理可得：
（M+2m）v₂+mv═（M+3m）v₃，
 …
第n顆小鋼球打入過程，同理可得：
[M+（n-1）m]v_n-1+mv=（M+nm）v_n，
聯(lián)立各式得：（M+m）v₁+（n-1）mv=（M+nm）v_n，
解得：v_n=

(M+m)v1+(n-1)mv

M+nm

，
當?shù)趎顆小鋼球射入后，砂擺要能達到初始釋放的位置，
砂擺速度滿足：v_n≥v₀，
解得：n≥

(M+m)v1-mv-Mv0

m(v0-v)

=4，
所以，當?shù)?顆小鋼球射入砂擺后，砂擺能達到初始釋放的高度．
答：（1）第一顆小鋼珠射入砂擺前的瞬間，砂擺的速度為2m/s．
（2）第一顆小鋼珠射入砂擺后的瞬間，砂擺的速度大小為1.94m/s．
（3）當?shù)?顆小鋼球射入砂擺后，砂擺能達到初始釋放的高度．

點評：動量是矢量，動量守恒定律方程是矢量方程，在應用動量守恒定律解題時，要注意正方向的選擇．