Question

（1）開普勒行星運(yùn)動第三定律指出：行星繞太陽運(yùn)動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即，k是一個對所有行星都相同的常量。將行星繞太陽的運(yùn)動按圓周運(yùn)動處理，請你推導(dǎo)出太陽系中該常量k的表達(dá)式。已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為M_太。

（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)（如地月系統(tǒng)）都成立。經(jīng)測定月地距離為3.84×10⁸m，月球繞地球運(yùn)動的周期為2.36×10⁶S，試計算地球的質(zhì)M_地。（G=6.67×10^-11Nm²/kg²，結(jié)果保留一位有效數(shù)字）

 

Answer 1

（1）（2）M_地=6×10²⁴kg

解析:（1）因行星繞太陽作勻速圓周運(yùn)動，于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r。根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有

                            ①--------（3分）

    于是有                            ②--------(1分)

即                                     ③--------（1分）

（2）在月地系統(tǒng)中，設(shè)月球繞地球運(yùn)動的軌道半徑為R，周期為T，由②式可得

                                     ④--------（3分）

解得      M_地=6×10²⁴kg                             ⑤--------(2分)

（M_地=5×10²⁴kg也算對）