Question

11．中國(guó)“嫦娥三號(hào)”繞月探測(cè)衛(wèi)星完成近月制動(dòng)后，成功進(jìn)入周期T=128min、高度h=200km的近月圓軌道．
（1）已知月球半徑約為R=1.8×10⁶m，求衛(wèi)星在高度200km的圓軌道上運(yùn)行的速度v和軌道處的重力加速度g．（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
（2）“嫦娥三號(hào)”軌道的近月點(diǎn)到月球球心的距離r_近=1988km，遠(yuǎn)月點(diǎn)到月球球心的距離r_遠(yuǎn)=1990km．張明、王玉兩同學(xué)利用不同方法分別計(jì)算出衛(wèi)星經(jīng)過(guò)近月點(diǎn)時(shí)速度v_近、近月點(diǎn)到月球球心的距離r_近和經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)月點(diǎn)時(shí)速度v_遠(yuǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)到月球球心的距離r_遠(yuǎn)的關(guān)系．
張明的方法：
$\frac{m{{v}_{近}}^{2}}{{r}_{近}}$=$\frac{GMm}{{{r}_{近}}^{2}}$                $\frac{m{{v}_{遠(yuǎn)}}^{2}}{{r}_{遠(yuǎn)}}$=$\frac{GMm}{{{r}_{遠(yuǎn)}}^{2}}$
得v_近²-v_遠(yuǎn)²=$\frac{GM}{{r}_{近}{r}_{遠(yuǎn)}}$（r_遠(yuǎn)-r_近）=g（r_遠(yuǎn)-r_近）
王玉的方法：
$\frac{1}{2}$mv_近²-$\frac{1}{2}$mv_遠(yuǎn)²=mg（r_遠(yuǎn)-r_近）
得v_近²-v_遠(yuǎn)²=2g（r_遠(yuǎn)-r_近）
請(qǐng)分別對(duì)這兩個(gè)同學(xué)的計(jì)算方法作一評(píng)價(jià)，并估算從遠(yuǎn)月點(diǎn)到近月點(diǎn)衛(wèi)星動(dòng)能的增量．（衛(wèi)星質(zhì)量為3780kg，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）“嫦娥一號(hào)”繞月做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由公$v=\frac{2π（R+h）}{T}$求速度v．由重力提供向心力，由牛頓第二定律列式求出g；
（2）衛(wèi)星繞月球做橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，在遠(yuǎn)月點(diǎn)和近月點(diǎn)做的不是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不能由萬(wàn)有引力等于向心力求速度．可根據(jù)動(dòng)能定理求動(dòng)能的增量．

解答 解：（1）由v=$\frac{2π（R+h）}{T}$…①
得v=$\frac{2×3.14×2×1{0}^{6}}{128×60}$≈1.6×10³m/s  
由重力提供向心力有mg=$\frac{m{v}^{2}}{R+h}$…②
得：g=$\frac{{v}^{2}}{R+h}$=$\frac{（1.6×1{0}^{3}）^{2}}{2×1{0}^{6}}$≈1.3m/s² 
（2）張明的思路方法錯(cuò)誤，王玉的方法正確． 
衛(wèi)星動(dòng)能增量：△E_k≈mg（r_遠(yuǎn)-r_近）    ③
解得：△E_k=3780×1.3×（1990-1988）×10³J=9.8×10⁶J
答：（1）衛(wèi)星在高度200km的圓軌道上運(yùn)行的速度v為$1.6×1{0}_{\;}^{3}m/s$和軌道處的重力加速度g為$1.3m/{s}_{\;}^{2}$
（2）從遠(yuǎn)月點(diǎn)到近月點(diǎn)衛(wèi)星動(dòng)能的增量為$9.8×1{0}_{\;}^{6}J$

點(diǎn)評(píng) 本題是衛(wèi)星問(wèn)題，建立物理模型，抓住萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力是關(guān)鍵，根據(jù)重力等于向心力可以求解做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星軌道處的重力加速度，衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)萬(wàn)有引力不等于向心力．