Question

3．如圖所示，在xOy平面第一象限內存在有垂直平面的勻強磁場（沒畫出）．一個質量為m、電荷量為q的帶電粒子．由y軸上的P點開始運動，初速度為v₀，方向沿x軸正方向．P到O的距離為$\sqrt{3}$L．后來，粒子經過x軸上的Q點，此時速度方向與x軸負方向的夾角為θ=60°，Q到O的距離為2L，磁場的磁感應強度B=$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qL}$．以下說法正確的是（　　）

• A． 帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑為$\frac{\sqrt{3}L}{4}$
• B． 求帶電粒子從P點運動到Q點所用的時間為$\frac{\sqrt{3}πL}{6{v}_{0}}$
• C． 若勻強磁場的區(qū)域是圓形磁場，則圓形磁場的最小面積為$\frac{9π{L}^{2}}{64}$
• D． 若勻強磁場的區(qū)域是矩形，則矩形磁場的最小面積為$\frac{3\sqrt{3}{L}^{2}}{32}$

Answer 1

分析 根據帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的過程中，洛倫茲力提供向心力，即可求出粒子運動的半徑R，利用周期公式T=$\frac{2πm}{qB}$結合轉過的圓心角求運動時間t；利用半徑R結合幾何關系即可求磁場區(qū)域的最小面積．

解答 解：A、根據洛倫茲力提供向心力可得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，又已知：B=$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qL}$，聯立可得：R=$\frac{\sqrt{3}L}{4}$，故A正確；
B、根據R=$\frac{\sqrt{3}L}{4}$畫出粒子軌跡過程圖，如圖一所示，

分析可知粒子在磁場中偏轉的角度：θ′=120°，
根據周期公式：T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}πL}{2}$，
所以粒子在磁場中做勻速圓周運動的時間為：t₁=$\frac{θ′}{360°}T$=$\frac{\sqrt{3}πL}{6{v}_{0}}$；
粒子做勻速直線運動的位移：s=CP+CQ-（CM+CN）=2L+$\sqrt{3}L$tan30°+$\frac{\sqrt{3}L}{cos30°}$-2Rtan60°
將R=$\frac{\sqrt{3}L}{4}$代入上式可得：s=$\frac{7}{2}$L，
故粒子做勻速直線運動的時間：t₂=$\frac{s}{{v}_{0}}$=$\frac{7L}{2{v}_{0}}$，
所以粒子從P點運動到Q點所用的時間為：t=t₁+t₂=$\frac{\sqrt{3}πL}{6{v}_{0}}$+$\frac{7L}{2{v}_{0}}$，故B錯誤；
C、畫出最小面積的圓形磁場區(qū)域如圖二所示，

即：以MN為直徑時，圓形磁場區(qū)域面積最小；
根據幾何關系可知磁場區(qū)域半徑：r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R=$\frac{3}{8}$L，
所以圓形區(qū)域面積：S₁=πr²=$\frac{9π{L}^{2}}{64}$，故C正確；
D、畫出最小面積的矩形磁場區(qū)域如圖三所示，

所以矩形區(qū)域面積：S₂=$\sqrt{3}$R（R-$\frac{1}{2}$R），將R=$\frac{\sqrt{3}L}{4}$代入可得：S₂=$\frac{3\sqrt{3}{L}^{2}}{32}$，故D正確；
故選：ACD．

點評 本題考查帶電粒子在電場中的運動，本題為一道易錯題，題干說在xOy平面第一象限內存在有垂直平面的勻強磁場，但并不是第一象限都有磁場，解題關鍵是要根據題中所給已知長度，以及半徑大小去畫出正確的過程圖，對幾何作圖能力要求較高．