Question

15．一行星繞某恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由天文觀測(cè)可得，恒星的半徑為R，行星運(yùn)行周期為T(mén)，線(xiàn)速度大小為v，引力常量為G．下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 恒星的質(zhì)量為$\frac{{4π}^{2}{R}^{3}}{{GT}^{2}}$
• B． 恒星的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{{v}^{3}T}{2πR}}$
• C． 行星的軌道半徑為$\frac{{v}^{2}T}{2π}$
• D． 行星的向心加速度為$\frac{2πv}{T}$

Answer 1

分析 根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)和已知物理量求出軌道半徑．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量和加速度．

解答 解：C、根據(jù)$v=\frac{2πr}{T}$，得行星的軌道半徑$r=\frac{vT}{2π}$，故C錯(cuò)誤；
A、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$=$\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)第一宇宙速度的計(jì)算公式：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{G•\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}}{R}}$=$\sqrt{\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πR}}$，故B正確；
D、行星的向心加速度$a=\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$=$\frac{{v}_{\;}^{2}}{\frac{vT}{2π}}$=$\frac{2πv}{T}$，故D正確；
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力與圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式可求出中心體的質(zhì)量，不能求出環(huán)繞體質(zhì)量．