Question

18．宇航員站在火星表面，從某點(diǎn)（高度遠(yuǎn)小于火星半徑）平拋一個(gè)物體，測(cè)得物體在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，水平射程為x；他從同一點(diǎn)以同樣大小的初速度豎直上拋另一物體，測(cè)得物體在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂．經(jīng)查資料得知：火星的半徑為R、自轉(zhuǎn)周期為T(mén)．求：
（1）火星表面的重力加速度；
（2）火星的“第一宇宙速度”大小；
（3）火星的“同步衛(wèi)星”距火星表面的高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的公式與豎直上拋運(yùn)動(dòng)的位移公式，即可求出加速度；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，以及星體表面上根據(jù)衛(wèi)星的萬(wàn)有引力等于重力即可求出第一宇宙速度；
（3）由萬(wàn)有引力提供向心力即可求出．

解答 解：（1）平拋的物體：x=v₀t₁，$h=\frac{1}{2}gt_1^2$
豎直上拋的物體：$h=-{v_0}{t_2}+\frac{1}{2}gt_2^2$
解得：g=$\frac{{2x{t_2}}}{{{t_1}（t_2^2-t_1^2）}}$
（2）對(duì)火星表面的物體：$\frac{GMm}{R^2}=mg$
對(duì)“近火衛(wèi)星”：$\frac{GMm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{2x{t_2}R}}{{{t_1}（t_2^2-t_1^2）}}}$
（3）對(duì)于火星的“同步衛(wèi)星”：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$
解得：$h=\root{3}{{\frac{{2x{t_2}{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}{t_1}（t_2^2-t_1^2）}}}}-R$
答：（1）火星表面的重力加速度為$\frac{{2x{t_2}}}{{{t_1}（t_2^2-t_1^2）}}$；
（2）火星的“第一宇宙速度”大小為$\sqrt{\frac{2x{t}_{2}R}{{t}_{1}（{t}_{2}^{2}-{t}_{1}^{2}）}}$；
（3）火星的“同步衛(wèi)星”距火星表面的高度是$\root{3}{\frac{2x{t}_{2}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}{t}_{1}（{t}_{2}^{2}-{t}_{1}^{2}）}}-R$．

點(diǎn)評(píng) 把星球表面的物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)結(jié)合起來(lái)是考試中常見(jiàn)的問(wèn)題．重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量．