Question

15．如圖所示，在xoy坐標(biāo)系坐標(biāo)原點O處有甲、乙二粒子，其中甲沿x軸正方向發(fā)射，乙粒子沿y軸的正方向，它們的速度大小均為v₀，在0＜y＜d的區(qū)域內(nèi)分布有指向y軸正方向的勻強電場，場強大小為E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$，其中q與m分別二粒子的電量和質(zhì)量；在d＜y＜2d的區(qū)域內(nèi)分布有垂直于xoy平面向里的勻強磁場，mn為電場和磁場的邊界．a(chǎn)b為一塊很大的平面感光板垂直于xoy平面且平行于x軸，放置于y=2d處，如圖所示．（q、d、m、v₀均為已知量，不考慮粒子的重力及粒子間的相互作用），求：
（1）二粒子進(jìn)入磁場的入射點間的距離；
（2）若二粒子均不能打到板ab上，則磁感應(yīng)強度B的大小應(yīng)滿足什么條件；
（3）將ab板向下平移適當(dāng)距離，恰能使二粒子均能打到板上，此時甲、乙粒子在磁場中的運動時間之比．

Answer 1

分析 （1）甲在電場中做類平拋運動，根據(jù)牛頓第二定律和分位移公式結(jié)合，可求得甲粒子x軸方向的分位移大小，即為二粒子進(jìn)入磁場的入射點間的距離．
（2）根據(jù)動能定理求出甲粒子進(jìn)入磁場時的速度大小，并得到甲粒子進(jìn)入磁場時與x軸正方向夾角，相比較而言，甲更容易打在板上，甲粒子軌跡必與ab板相切，畫出其運動軌跡，由牛頓第二定律求出B的大�。�
（3）由上分析可知沿y軸正方向射出的乙粒子恰能打到ab板上，則二粒子均能打到板上．其臨界情況就是乙粒子軌跡恰好與ab板相切，由此得到磁場的寬度，根據(jù)軌跡的圓心角求出粒子運動的時間，從而得到時間之比．

解答 解：（1）甲在電場中做類平拋運動，則有
   d=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由牛頓第二定律，有 qE=ma
 x=v₀t；
解得：x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d
乙在電場中沿y軸正向做勻加速直線運動，故二者進(jìn)入磁場的間距△x=x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d
（2）甲子進(jìn)入磁場時的速度為v，則由動能定理，有
 qEd=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
故v=2v₀；
甲粒子進(jìn)入磁場時與x軸正方向夾角為θ，則有 $cosθ=\frac{v_0}{v}=\frac{1}{2}$
得 θ=$\frac{π}{3}$
二粒子相比較，甲更容易打在板上，甲粒子軌跡必與ab板相切，設(shè)其圓周運動的半徑為r，則有：r+rsin30°=d
得 r=$\frac{2}{3}$d
又根據(jù)洛倫茲力提供向心力：qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
可得：B₀=$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$
故若二粒子均不能打到板ab上，則磁感應(yīng)強度B的大小應(yīng)滿足的條件是：B＞$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$．   
（3）由分析可知沿y軸正方向射出的乙粒子恰能打到ab板上，則二粒子均能打到板上．其臨界情況就是乙粒子軌跡恰好與ab板相切．                            
由分析可知此時磁場寬度為$\frac{2}{3}$d
由幾何知識可知甲粒子在磁場中的運動時間 ${t_1}=\frac{1}{6}T$
則乙粒子打在磁場中的運動時間 ${t_2}=\frac{T}{4}$
故甲、乙在磁場中的運動時間之比$\frac{t_1}{t_2}=\frac{2}{3}$
答：
（1）二粒子進(jìn)入磁場的入射點間的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d；
（2）若二粒子均不能打到板ab上，則磁感應(yīng)強度B的大小應(yīng)滿足的條件是B＞$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$．  
（3）甲、乙粒子在磁場中的運動時間之比為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了帶電粒子在電場和磁場中的運動，關(guān)鍵確定粒子運動的臨界情況，通過幾何關(guān)系解決，對學(xué)生數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．