Question

（2011?陜西二模）如圖（a）所示，木板與水平面間的夾角θ可以在0到π/2內(nèi)隨意改變，可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊從木板的底端以大小恒定的初速率v₀沿木板向上運(yùn)動(dòng)，所能上升的最大距離記為x，今改變?chǔ)榷�使x隨之改變，根據(jù)所測(cè)量的若干組數(shù)據(jù)可以描繪出x-θ曲線如圖（b）所示，若木板足夠長(zhǎng)，重力加速度g取10m/s²，試根據(jù)x-θ曲線和相關(guān)的物理規(guī)律，求：
（1）小木塊的初速率v₀
（2）小木塊與木板間的動(dòng)摩擦系數(shù)μ
（3）對(duì)應(yīng)于x-θ曲線上x(chóng)取最小值的P點(diǎn)的坐標(biāo)值（θ₀，x_min）

Answer 1

分析：（1）由圖象可知，當(dāng)θ₁=

π

2

時(shí)，x₁=5m，此時(shí)小物塊做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解小木塊的初速率．
（2）由圖象可知，當(dāng)θ₂=0時(shí)，x₂=10m，當(dāng)木板水平時(shí)，由動(dòng)能定理得列出等式求解小木塊與木板間的動(dòng)摩擦系數(shù)．
（3）當(dāng)木板與水平方向夾角為θ時(shí)，木塊沿木板上滑的距離為x，由動(dòng)能定理列出等式求解．

解答：解：（1）由圖象可知，當(dāng)θ₁=

π

2

時(shí)，x₁=5m，此時(shí)小物塊做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：
  v0=

2gx1

=

2×10×5

m/s=10m/s
（2）由圖象可知，當(dāng)θ₂=0時(shí)，x₂=10m，當(dāng)木板水平時(shí)，
由動(dòng)能定理得-μmgx2=0-

1

2

m

v

2 0

解得μ=0.5
（3）當(dāng)木板與水平方向夾角為θ時(shí)，木塊沿木板上滑的距離為x，由動(dòng)能定理得-mgxsinθ-μmgxcosθ=0-

1

2

m

v

2 0

解得   x=

v 2 0

2g(sinθ+μcosθ)

令y=sinθ+μcosθ=

1+μ2

(

1

1+μ2

sinθ+

μ

1+μ2

cosθ)
令  cosα=

1

1+μ2

則sinα=

μ

1+μ2

所以y=

1+μ2

sin(α+θ)
當(dāng)α+θ=

π

2

時(shí)，y存在最大值ym=

5

2

即θ0=

π

2

-α，sinθ0=cosα=

1

1+μ2

=

2 5

5

θ0=arcsin

2 5

5

對(duì)應(yīng)x的最小值為xmin=

v 2 0

2gam

=2

5

m
P點(diǎn)坐標(biāo)為(arcsin

2 5

5

，2

5

)
答：（1）小木塊的初速率是10m/s，
（2）小木塊與木板間的動(dòng)摩擦系數(shù)是0.5．
（3）對(duì)應(yīng)于x-θ曲線上x(chóng)取最小值的P點(diǎn)的坐標(biāo)值是(arcsin

2 5

5

，2

5

)

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵能夠運(yùn)用x-θ曲線的特殊值，選擇物理規(guī)律解決問(wèn)題．
了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解決問(wèn)題的前提，選取研究過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理解題．