Question

5．如圖所示，兩平行光滑金屬導(dǎo)軌固定在水平面上，導(dǎo)軌相距L₁，導(dǎo)軌上分布著n個(gè)寬度為d、間距為2d的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直水平面向上．在導(dǎo)軌的左端連接一個(gè)阻值為R的電阻，導(dǎo)軌的左端距離第一個(gè)磁場區(qū)域L₂的位置放有一根質(zhì)量為m，長為L₁，阻值為r的金屬棒，導(dǎo)軌電阻及金屬棒與導(dǎo)軌間的接觸電阻均不計(jì)．現(xiàn)用一水平向右的已知恒力F使導(dǎo)體棒由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)．已知金屬棒穿過任何一段磁場區(qū)域的過程中，流過電阻R上的電流及其變化相同．求：

（1）金屬棒剛進(jìn)入磁場區(qū)域時(shí)流過電阻R的電流I；
（2）金屬棒穿過n個(gè)有界勻強(qiáng)磁場過程中通過電阻R的電荷量q；
（3）金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到穿過全部磁場區(qū)域的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q_R．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出金屬桿進(jìn)入磁場時(shí)的速度，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢公式和閉合電路歐姆定律求出電流的大�。�
（2）根據(jù)電量的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式q=$\frac{△Φ}{R+r}$求出通過一個(gè)磁場區(qū)域時(shí)通過電阻R的電荷量，從而得出穿過n個(gè)有界勻強(qiáng)磁場過程中通過電阻R的電荷量．
（3）金屬棒穿過任何一段磁場區(qū)域的過程中，流過電阻R上的電流及其變化相同，可知金屬棒進(jìn)入每個(gè)磁場區(qū)域時(shí)的速度均相同，從進(jìn)入剛進(jìn)入第一個(gè)磁場區(qū)域到剛進(jìn)入第二個(gè)磁場區(qū)域的過程中，根據(jù)能量守恒得出產(chǎn)生的熱量，從而得出穿過全部磁場區(qū)域產(chǎn)生的熱量，得出電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）設(shè)金屬棒剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度為v₀，根據(jù)動(dòng)能定理：$F{L}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{2F{L}_{2}}{m}}$．
此時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢：E=BL₁v₀=$B{L}_{1}\sqrt{\frac{2F{L}_{2}}{m}}$，
電流I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{B{L}_{1}}{R+r}\sqrt{\frac{2F{L}_{2}}{m}}$．
（2）金屬棒穿過一個(gè)磁場區(qū)域通過電阻R的電荷量：${q}_{0}=\frac{△Φ}{R+r}=\frac{B{L}_{1}d}{R+r}$，
所以穿過n個(gè)有界勻強(qiáng)磁場過程中通過電阻R的電荷量q=nq₀=$\frac{nB{L}_{1}d}{R+r}$．
（3）由題意知，金屬棒進(jìn)入每個(gè)磁場區(qū)域時(shí)的速度均相同，都是v₀，且在磁場中運(yùn)動(dòng)的規(guī)律均相同，設(shè)在一個(gè)磁場中運(yùn)動(dòng)的過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱為Q₀，從進(jìn)入剛進(jìn)入第一個(gè)磁場區(qū)域到剛進(jìn)入第二個(gè)磁場區(qū)域的過程中，根據(jù)能量守恒：Q₀=F•3d=3Fd，
所以穿過全部磁場區(qū)域的過程中產(chǎn)生的熱量：Q=nQ₀=3nFd．
則電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}Q$=$\frac{3nFdR}{R+r}$．
答：（1）金屬棒剛進(jìn)入磁場區(qū)域時(shí)流過電阻R的電流I為$\frac{B{L}_{1}}{R+r}\sqrt{\frac{2F{L}_{2}}{m}}$；
（2）金屬棒穿過n個(gè)有界勻強(qiáng)磁場過程中通過電阻R的電荷量q為$\frac{nB{L}_{1}d}{R+r}$；
（3）金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到穿過全部磁場區(qū)域的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{3nFdR}{R+r}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢，牛頓第二定律和能量守恒定律，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)過程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．