Question

如圖所示，固定在地面上的光滑軌道AB、CD，均是半徑為R的

1

4

圓弧．一質(zhì)量為m、上表面長(zhǎng)也為R的小車靜止在光滑水平面EF上，小車上表面與軌道AB、CD的末端B、C相切．一質(zhì)量為m的物體（大小不計(jì)）從軌道AB的A點(diǎn)由靜止下滑，由末端B滑上小車，小車在摩擦力的作用下向右運(yùn)動(dòng)．當(dāng)小車右端與壁CF接觸前的瞬間，物體m恰好滑動(dòng)到小車右端相對(duì)于小車靜止，同時(shí)小車與CF相碰后立即停止運(yùn)動(dòng)但不粘連，物體則繼續(xù)滑上軌道CD．求：
（1）物體滑上軌道CD前的瞬間時(shí)速率；
（2）水平面EF的長(zhǎng)度；
（3）當(dāng)物體再?gòu)能壍繡D滑下并滑上小車后，如果小車與壁BE相碰后速度也立即變?yōu)榱�，最后物體m停在小車上的Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)距小車右端多遠(yuǎn)？

Answer 1

（1）設(shè)物體從A滑至B時(shí)速率為Vo，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：mgR=

1

2

mvo2
vo=

2gR

物體與小車相互作用過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)共同速度為V1，有：mv_o=2mv₁
解得物體滑上軌道CD前的瞬間時(shí)速率：v1=

2gR

2

（2）設(shè)二者之間的摩擦力為f，根據(jù)動(dòng)能定理有，
對(duì)物體有：-fSEF=

1

2

mv12-

1

2

mvo2
對(duì)小車有：f(SEF-R)=

1

2

mv12
（或?qū)ο到y(tǒng)根據(jù)能量守恒定律有：fR=

1

2

mvo2-

1

2

2mv12）
得f=

1

2

mg
SEF=

3

2

R
（3）設(shè)物體從CD滑下后與小車達(dá)到相對(duì)靜止，共同速度為V₂，相對(duì)小車滑行的距離為S₁，小車停后物體做勻減速運(yùn)動(dòng)，相對(duì)小車滑行距離為S₂，根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒有：
mv₁=2mv₂
fS1=

1

2

mv12-

1

2

2mv22
對(duì)物體根據(jù)動(dòng)能定理有：fS2=

1

2

mv22
解得S1=

1

4

RS2=

1

8

R
則Q點(diǎn)距小車右端距離：S=S1+S2=

3

8

R
答：（1）物體滑上軌道CD前的瞬間時(shí)速率v1=

2gR

2

．
（2）水平面EF的長(zhǎng)度為

3

2

R．
（3）最后物體m停在小車上的Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)距小車右端

3

8

R．