Question

12．如圖所示，質量均為m的A、B兩球，由一根勁度系數為k的輕彈簧連接靜止于半徑為R的光滑半球形碗中，彈簧水平，兩球間距為R且球半徑遠小于碗的半徑．則彈簧的原長為（　　）

• A． $\frac{mg}{k}$+R
• B． $\frac{mg}{2k}$+R
• C． $\frac{{2\sqrt{3}mg}}{3k}$+R
• D． $\frac{{\sqrt{3}mg}}{3k}$+R

Answer 1

分析 對A球受力分析后根據平衡條件得到彈簧的彈力，根據胡克定律求解出壓縮量；根據幾何關系得到彈簧的長度，相加得到彈簧的原長．

解答 解：以A球為研究對象，小球受三個力：重力、彈力和球殼的支持力如圖所示，
由平衡條件，得到：
tanθ=$\frac{mg}{kx}$
解得：
x=$\frac{mg}{ktanθ}$
根據幾何關系得：$cosθ=\frac{\frac{1}{2}R}{R}=\frac{1}{2}$，則tan$θ=\sqrt{3}$，
所以x=$\frac{mg}{ktanθ}$=$\frac{\sqrt{3}mg}{3k}$
故彈簧原長x₀=$\frac{\sqrt{3}mg}{3k}$+R，故D正確．
故選：D

點評 本題關鍵是對小球受力分析后根據平衡條件求得彈力，然后根據胡克定律并幾何關系列式求解即可