Question

如圖所示，有一傾角θ=37°的足夠長(zhǎng)粗糙斜面，底端與一個(gè)光滑的

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圓弧平滑連接，圓弧底端切線(xiàn)水平．一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從斜面上某點(diǎn)A（圖中未畫(huà)出）由靜止開(kāi)始滑下，經(jīng)過(guò)斜面底端B點(diǎn)后恰好到達(dá)圓弧最高點(diǎn)C，又從圓弧滑回，恰好能上升到斜面上的D點(diǎn)，再由D點(diǎn)沿斜面下滑至B點(diǎn)后沿圓弧上升，再滑回，這樣往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最后停在B點(diǎn)．已知圓弧半徑R=0.8m，滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，假設(shè)滑塊經(jīng)過(guò)斜面與圓弧平滑連接處速率不變．求：
（1）滑塊第1次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小及對(duì)圓弧軌道的壓力；
（2）圖中BD兩點(diǎn)的距離；
（3）滑塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第5次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的過(guò)程中與斜面摩擦而產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出質(zhì)點(diǎn)第一次到達(dá)B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律和第三定律求出質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓弧軌道的壓力．
（2）對(duì)AB段和BD段分別運(yùn)用動(dòng)能定理，求出BD的長(zhǎng)度．
（3）分別對(duì)上滑過(guò)程和下滑過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，得出上滑的位移與下滑的位移的關(guān)系，從而找出規(guī)律，得出質(zhì)點(diǎn)在斜面上運(yùn)動(dòng)的路程，通過(guò)Q=fs求出產(chǎn)生的熱量．

解答：解：（1）滑塊從B到C的過(guò)程，機(jī)械能守恒mgR=

1

2

m

v

2 B

代入數(shù)據(jù)可得v_B=4m/s
所以在B點(diǎn)，對(duì)滑塊有N-mg=m

v 2 B

R

代入數(shù)據(jù)得N=30N   
根據(jù)牛頓第三定律可得：滑塊對(duì)圓弧軌道的壓力為30N，方向豎直向下．
（2）滑塊由B到D，據(jù)動(dòng)能定理得-mglBDsinθ-μmgcosθlBD=0-

1

2

m

v

2 B

代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得：l_BD=0.8m
（3）滑塊由A到B，據(jù)動(dòng)能定理mglADsinθ-μmgcosθlAD=

1

2

m

v

2 B

-0
代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得l_AD=4m
滑塊由D到B，動(dòng)能定理：mgl_DBsinθ-μmgcosθl_BD=

1

2

mv²-0①
設(shè)滑塊經(jīng)B后滑上圓弧，又滑回，再次經(jīng)B后滑上斜面的最高點(diǎn)為E，則滑塊由B到E，據(jù)動(dòng)能定理得-mgl_BEsinθ-μmgcosθ_BE=0-

1

2

mv²②
由①②可得l_BE=0.16m
所以，從開(kāi)始到第五次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)產(chǎn)生的總熱量為：Q=μmgcosθ（l_AD+2l_BD+2l_BE）=23.68J
答：（1）滑塊第1次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小及對(duì)圓弧軌道的壓力30N；
（2）圖中BD兩點(diǎn)的距離0.8m；
（3）滑塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第5次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的過(guò)程中與斜面摩擦而產(chǎn)生的熱量23.68J．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了考查了動(dòng)能定理和牛頓第二定律，綜合性較強(qiáng)，難度中等，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)過(guò)程，選擇合適的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理進(jìn)行求解．