Question

如圖（ａ）所示，Ａ、Ｂ為水平放置的平行金屬板，板間距離為ｄ（ｄ遠(yuǎn)小于板的長(zhǎng)和寬）．在兩板之間有一帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)Ｐ．已知若在Ａ、Ｂ間加電壓Ｕ_o，則質(zhì)點(diǎn)Ｐ可以靜止平衡．現(xiàn)在Ａ、Ｂ間加上如圖（ｂ）所示的隨時(shí)間ｔ變化的電壓ｕ．在ｔ＝0時(shí)質(zhì)點(diǎn)Ｐ位于Ａ、Ｂ間的中點(diǎn)處且初速為零．已知質(zhì)點(diǎn)Ｐ能在Ａ、Ｂ之間以最大的幅度上下運(yùn)動(dòng)而又不與兩板相碰，求圖（ｂ）中ｕ改變的各時(shí)刻ｔ_１、ｔ_２、ｔ_３及ｔ_ｎ的表達(dá)式．（質(zhì)點(diǎn)開始從中點(diǎn)上升到最高點(diǎn)，及以后每次從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)或從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中，電壓只改變一次．）

Answer 1

解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)Ｐ的質(zhì)量為ｍ，電量大小為，根據(jù)題意，當(dāng)Ａ、Ｂ間的電壓為時(shí)，有

／ｄ＝ｍｇ，
當(dāng)兩板間的電壓為2Ｕ_０時(shí)，Ｐ的加速度向上，其大小為ａ，則
（ｑ2／ｄ）－ｍｇ＝ｍａ，
解得ａ＝ｇ．
當(dāng)兩板間的電壓為零時(shí)，Ｐ自由下落，加速度為ｇ，方向向下．
在ｔ＝0時(shí)，兩板間的電壓為2，Ｐ自Ａ、Ｂ間的中點(diǎn)向上做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為ｇ．設(shè)經(jīng)過時(shí)間τ_１，Ｐ的速度變?yōu)?sub>，此時(shí)使電壓變?yōu)榱悖�讓Ｐ在重力作用下做勻減速運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)過時(shí)間τ_１′，Ｐ正好到達(dá)Ａ板且速度為零，故有
＝ｇτ_１，0＝－ｇτ_１′，
（1／2）ｄ＝（1／2）ｇτ_１^２＋τ_１′－（1／2）ｇτ_１′^２，
由以上各式，得
τ_１＝τ_１′，τ_１＝（／2），
因?yàn)椋?sub>１＝τ_１，得ｔ_１＝（／2）．
在重力作用下，Ｐ由Ａ板處向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間τ_２，速度變?yōu)椋?sub>２，方向向下，這時(shí)加上電壓使Ｐ做勻減速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間τ_２′，Ｐ到達(dá)Ｂ板且速度為零，故有
ｖ_２＝ｇτ_２，0＝ｖ_２－ｇτ_２′，
ｄ＝（1／2）ｇτ_２^２＋ｖ_２τ_２′－（1／2）ｇτ_２′^２，
由以上各式，得τ_２＝τ_２′，τ_２＝，
因?yàn)椋?sub>２＝ｔ_１＋τ_１′＋τ_２，
得ｔ_２＝（＋1）．
在電場(chǎng)力與重力的合力作用下，Ｐ由Ｂ板處向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間τ_３，速度變?yōu)椋?sub>３，此時(shí)使電壓變?yōu)榱�，讓Ｐ在重力作用下做勻減速運(yùn)動(dòng)．經(jīng)過時(shí)間τ_３′，Ｐ正好到達(dá)Ａ板且速度為零，故有
ｖ_３＝ｇτ_３，0＝ｖ_３－ｇτ_３′，
ｄ＝（1／2）ｇτ_３^２＋ｖ_３τ_３′－（1／2）ｇτ_３′^２
由上得τ_３＝τ_３′，τ_３＝，
因?yàn)椋?sub>３＝ｔ_２＋τ_２′＋τ_３，
得ｔ_３＝（＋3）．
根據(jù)上面分析，因重力作用，Ｐ由Ａ板向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間τ_２，再加上電壓，經(jīng)過時(shí)間τ_２′，Ｐ到達(dá)Ｂ且速度為零，因?yàn)椋?sub>４＝ｔ_３＋τ_３′＋τ_２，
得ｔ_４＝（＋5）．

同樣分析可得：ｔ_ｎ＝（＋2ｎ－3）．（ｎ≥2）