Question

10．歐洲大型強子對撞機是現(xiàn)在世界上最大，能量最高的粒子加速器，是一種將質子加速對撞的高能物理設備，其原理可簡化如下：兩束橫截面積極小長度為l₀質子束以初速度v₀同時從左、右兩側入口射入加速電場，離開電場后經過相同的一段距離射入垂直紙面的圓形勻強磁場區(qū)域并被偏轉，最后兩質子束發(fā)生相碰，已知質子質量為m，電量為e，加速極板AB、A′B′極間距相同、極間電壓均為U₀，且滿足eU₀=$\frac{3}{2}$mv₀²．兩磁場磁感應強度相同，半徑均為R，圓心O、O′在質子束的入射方向上，其連線與質子入射方向垂直且距離為H=$\frac{7}{2}$R，整個裝置處于真空中，忽略粒子間的相互作用及相對論效應．
（1）試求質子束經過加速電場加速后（未進入磁場）的速度v和長度l；
（2）試求出磁場磁感應強度B；粒子束可能發(fā)生碰撞的時間△t．
（3）若某次實驗時將上方磁場的圓心O往上移了$\frac{R}{2}$，其余條件均不變，則質子束能否相碰？若不能，請說明理由；若能，請說明相碰的條件及可能發(fā)生碰撞的時間△t′．

Answer 1

分析 （1）由動能定理即可求出粒子的速度，由位移公式即可求出長度l；
（2）由半徑公式即可求出磁感應強度，由位移公式即可求出時間；
（3）通過運動的軌跡與速度的方向分析能否發(fā)生碰撞．

解答 解：（1）質子加速的過程中，電場力做功，得：$e{U}_{0}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
將eU₀=$\frac{3}{2}$mv₀²代入得：v=2v₀
由于是相同的粒子，又在相同的電場中加速，所以可知，所有粒子在電場中加速的時間是相等的，在加速 之前，進入電場的時間差：$t=\frac{{l}_{0}}{{v}_{0}}$
出電場的時間差也是△t，所以，出電場后，該質子束的長度：L=vt=2v₀t=2l₀
（2）粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，在偏轉后粒子若發(fā)生碰撞，則只有在粒子偏轉90°時，才可能發(fā)生碰撞，所以碰撞的位置在OO′的連線上．
洛倫茲力提供向心力，即：$evB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以：B=$\frac{mv}{eR}$=$\frac{2m{v}_{0}}{eR}$
由于洛倫茲力只改變磁場的方向，不改變粒子的速度，所以粒子經過磁場后的速度的大小不變，由于所有粒子的速度大小相等，所以應先后到達同一點，所以碰撞的時間：△t=$\frac{L}{v}=\frac{2{l}_{0}}{2{v}_{0}}=\frac{{l}_{0}}{{v}_{0}}$
（3）某次實驗時將磁場O的圓心往上移了$\frac{R}{2}$，其余條件均不變，則質子束經過電場加速后的速度不變，而運動的軌跡不再對稱．
對于上邊的粒子，不是對著圓心入射，而是從F點入射，如圖：E點是原來C點的位置，連接OF、OD，作FK平行而且等于OD，再連接KD，由于OD=OF=FK，則四邊形ODFK是菱形，即KD=KF，所以粒子仍然從D點射出，但方向不是沿OD的方向，K為粒子束的圓心．
由于磁場向上移了$\frac{1}{2}R$，故：$sin∠COF=\frac{\frac{1}{2}R}{R}=\frac{1}{2}$
得：$∠COF=\frac{π}{6}$，$∠DOF=∠FKD=\frac{π}{3}$
而對于下邊的粒子，沒有任何的改變，故兩束粒子若相遇，則一定在D點相遇．
下方的粒子到達C′后先到達D點的粒子需要的時間：$t′=\frac{\frac{πR}{2}+（H+\frac{1}{2}R-2R）}{2{v}_{0}}=\frac{π+4}{4{v}_{0}}R$
而上方的粒子到達E點后，最后到達D點的粒子需要的時間：$t=\frac{l+\overline{EF}+\overline{FD}}{2{v}_{0}}=\frac{2{l}_{0}+（R-Rsin\frac{π}{3}）+\frac{π}{3}R}{2{v}_{0}}$=$\frac{2{l}_{0}+\frac{6+2π-3\sqrt{3}}{6}R}{2{v}_{0}}$
若t′＞t．即當${l}_{0}＜\frac{π+3\sqrt{3}+6}{12}R$時，兩束粒子不會相遇；
若t′＜t．即當${l}_{0}≥\frac{π+3\sqrt{3}+6}{12}R$時，兩束粒子可能相碰撞的最長時間：△t=t-t′=$\frac{{l}_{0}}{{v}_{0}}-\frac{π+3\sqrt{3}+6}{12{v}_{0}}R$
答：（1）質子束經過加速電場加速后（未進入磁場）的速度是2v₀，長度是2l₀；
（2）試求出磁場磁感應強度是$\frac{2m{v}_{0}}{eR}$，粒子束可能發(fā)生碰撞的時間是$\frac{{l}_{0}}{{v}_{0}}$．
（3）若某次實驗時將磁場O的圓心往上移了$\frac{R}{2}$，其余條件均不變，當${l}_{0}＜\frac{π+3\sqrt{3}+6}{12}R$時，兩束粒子不會相遇；
當${l}_{0}≥\frac{π+3\sqrt{3}+6}{12}R$時，兩束粒子可能相碰撞的最長時間：△t=t-t′=$\frac{{l}_{0}}{{v}_{0}}-\frac{π+3\sqrt{3}+6}{12{v}_{0}}R$．

點評 該題屬于分析物理實驗的題目，雖然給出的情況比較新穎，但是，只有抓住帶電粒子在電場中運動的規(guī)律與帶電粒子在磁場中運動的規(guī)律，使用動能定理與磁場中的半徑公式即可正確解答．中檔題目．