Question

13．一輕質(zhì)細繩一端系一質(zhì)量為m=$\frac{1}{20}$kg的小球A，另一端掛在光滑水平軸O上，O到小球的距離為L=0.1m，小球跟水平面接觸，但無相互作用，在球的兩側(cè)等距離處分別固定一個光滑的斜面和一個擋板，如圖所示，水平距離s為2m，現(xiàn)有一小滑塊B，質(zhì)量也為m，從斜面上滑下，與小球碰撞時交換速度，與擋板碰撞不損失機械能，小滑塊B與水平面間的動摩擦因數(shù)為0.25．若不計空氣阻力，并將滑塊和小球都視為質(zhì)點，g取10m/s²，試問：
（1）若滑塊B從斜面某一高度h處滑下與小球第一次碰撞后，使小球恰好在豎直平面內(nèi)做圓周運動，求此高度h．
（2）若滑塊B從h′=5m處滑下，求滑塊B與小球第一次碰后瞬間繩子對小球的拉力．
（3）若滑塊B從h′=10m處下滑與小球碰撞后，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，求小球做完整圓周運動的次數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）小球恰好在豎直平面內(nèi)做圓周運動，則在最高點，重力恰好提供向心力；對滑塊從下滑到與小球碰撞過程運用動能定律列式；聯(lián)立方程組求解即可；
（2）先對滑塊從下滑到與小球碰撞過程運用動能定律列式求出碰撞前的速度；碰撞，速度傳遞給小球，然后對小球受力分析，受重力和拉力，合力提供向心力；
（3）滑塊B從h=10m 處下滑與小球碰撞后，速度傳遞給小球，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，經(jīng)過一圈后從左側(cè)碰撞滑塊，速度傳遞給滑塊，滑塊向右移動，碰撞擋板后返回，再次通過碰撞將速度傳遞給小球，小球順時針轉(zhuǎn)動一周，從右側(cè)通過碰撞將速度傳遞給滑塊，滑塊向左移動，沖上斜面后返回，再次從左側(cè)碰撞小球，完成一個周期的運動；此后不斷重復這個過程，直到小球不能做完整的圓周運動為止

解答 解：（1）小球剛能完成一次完整的圓周運動，它到最高點的速度為v₀，在最高點，僅有重力充當向心力，則有
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$                          ①
在小球從h處運動到最高點的過程中，機械能守恒，
則有mg（h-2L）-μmg$\frac{s}{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$        ②
解上式有h=0.5m      
（2）若滑塊從h′=5m處下滑到將要與小球碰撞時速度為v₁，則有mgh′-$μmg•\frac{S}{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$               ③
滑塊與小球碰后的瞬間，同理滑塊靜止，小球以的速度開始作圓周運動，繩的拉力T和重力的合力充當向心力，則有 T-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$      ④
解得
T=48N     
（3）小球恰好能做完整的圓周運動，機械能為：E=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$+mg•2L
滑塊和小球第一次碰撞后，每在平面上經(jīng)s路程后再次碰撞，即機械能損失為：△E_損=f•S=μmgS，則根據(jù)能量守恒定律，有$\frac{mgh′-μmg•\frac{S}{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-2mgL}{μmgS}+1$≥n
解得：n=20次      
即小球做完整圓周運動的次數(shù)n為20
答：（1）若滑塊B從斜面某一高度h=0.5m處滑下與小球第一次碰撞后，使小球恰好在豎直平面內(nèi)做圓周運動；
（2）若滑塊B從h′=5m處滑下，滑塊B與小球第一次碰后瞬間繩子對小球的拉力為48N．
（3）若滑塊B從h′=10m處下滑與小球碰撞后，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，小球做完整圓周運動的次數(shù)n為20．

點評 本題關鍵是要明確小球和滑塊的運動的全部過程，然后根據(jù)機械能守恒定律和能量守恒定律以及動能定理列式求解，注意機械能的損失等于摩擦力做功．