Question

如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個(gè)豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后又正好落回A點(diǎn)，求：
（1）推力對(duì)小球所做的功．
（2）x取何值時(shí)，使質(zhì)點(diǎn)完成BC段運(yùn)動(dòng)后落回水平面，水平恒力所做的功最少？最小功為多少？

Answer 1

（1）質(zhì)點(diǎn)從半圓弧軌道做平拋運(yùn)動(dòng)又回到A點(diǎn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)的速度為v_C，質(zhì)點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為t，在水平方向?x=v_Ct
豎直方向上2R=

1

2

gt²?，
解①②式有v_C=

x

2

g R

對(duì)質(zhì)點(diǎn)從A到C由動(dòng)能定理有?W_F-mg?2R=

1

2

mv_C² 
解W_F=

mg(16R2+x2)

8R

 
（2）要使力F做功最少，確定x的取值，由W_F=2mgR+

1

2

mv_C²知，只要質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)速度最小，則功W_F就最小，就是物理極值．
若質(zhì)點(diǎn)恰好能通過(guò)C點(diǎn)，其在C點(diǎn)最小速度為v，由牛頓第二定律有?
mg=

mv2

R

，則v=

Rg

當(dāng)x=vt=

Rg

×2

R g

=2R時(shí)，
W_F最小，最小的功W_F=

5

2

mgR．
答：（1）推力對(duì)小球所做的功為

mg(16R2+x2)

8R

．
（2）x取2R時(shí)，使質(zhì)點(diǎn)完成BC段運(yùn)動(dòng)后落回水平面，水平恒力所做的功最少，最小功為

5

2

mgR．