Question

有一個固定豎直放置的圓形軌道，半徑為R，由左右兩部分組成．如圖所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA是粗糙的．現(xiàn)在最低點A給一質(zhì)量為M的小球一個水平向右的初速度，使小球沿軌道恰好運動到最高點B，小球在B點又能沿BFA回到A點，到達A點時對軌道的壓力為4mg．
 （1）在求小球在A點的速度v0時，甲同學(xué)的解法是：由于小球恰好到達B點，故在B點小球的速度為零，

1

2

m

v

2 0

=2mgR，所以v0=2

gR

．
（2）在求小球由BFA回到A點的速度時，乙同學(xué)的解法是：由于回到A點時對軌道的壓力為4mg，故4mg=

m v 2 A

R

，所以vA=2

gR

． 你同意兩位同學(xué)的解法嗎？如果同意請說明理由；若不同意，請指出他們的錯誤之處，并求出結(jié)果．
（3）根據(jù)題中所描繪的物理過程，求小球由B經(jīng)F回到A的過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：（1）甲同學(xué)的解法是錯誤的，小球在最高點的臨界速度不是零，靠重力提供向心力，求出臨界速度，再根據(jù)動能定理求出小球在A點的初速度．
（2）乙同學(xué)的解法是錯誤的，在A點是豎直方向上的合力提供向心力，不是支持力提供向心力．根據(jù)牛頓第二定律求出回到A點的速度．
（3）對小球由B經(jīng)F回到A的過程中運用動能定理求出小球由B經(jīng)F回到A的過程中克服摩擦力所做的功．

解答：解：不同意，兩位同學(xué)的解法都錯誤，甲同學(xué)認(rèn)為最高點的臨界速度為零，實際上在最高點的臨界情況是彈力為零，靠重力提供向心力，有最小速度．乙同學(xué)認(rèn)為在最低點是支持力提供向心力，實際上時豎直方向上的合力提供向心力．
（1）小球恰好到達B點，在B點小球的速度不為零．
小球由AEB到B點的速度時mg=m

vB2

R

，vB=

gR

由動能定理

1

2

mvB2-

1

2

mv02=-mg?2R，得v0=

5gR

．
（2）由于回到A點時對軌道壓力為4mg，小球受到的合力并不是4mg．
根據(jù)牛頓定律：4mg-mg=m

vA2

R

，vA=

3gR

．
（3）小球由B經(jīng)F回到A的過程中，
由2mgR-Wf=

1

2

mvA2-

1

2

mgR和vA=

3gR

得W_f=mgR．
答：（1）小球在A點的速度為

5gR

．
（2）回到A點的速度為

3gR

．
（3）小球由B經(jīng)F回到A的過程中克服摩擦力所做的功為mgR．

點評：解決本題的關(guān)鍵掌握小球在內(nèi)軌道運動最高點的臨界情況，以及知道做圓周運動徑向的合力提供向心力．