Question

3．2017年2月24日，美國(guó)宇航局宣布，在距離地球39光年外的水瓶座，發(fā)現(xiàn)了圍繞恒星“Trappist-1“運(yùn)行的7個(gè)類地行星，其中排列第5的行星“f”（可視為均力球體，且不考慮其白轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）被認(rèn)為最適宜人類居住．假設(shè)該行星繞恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，他到恒星巾心的距離為r，該行星的質(zhì)量為m，半徑為R，引力常量為G，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 該行星的公轉(zhuǎn)周期為2πr$\sqrt{\frac{r}{Gm}}$
• B． 該行星表面的重力加速度為$\frac{Gm}{{R}^{2}}$
• C． 該行星的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{Gm}{R}}$
• D． 該行星繞恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為 $\sqrt{\frac{Gm}{r}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑求出行星的周期和線速度的大�。�根據(jù)萬有引力等于重力求出行星表面的重力加速度，結(jié)合行星的半徑，根據(jù)萬有引力提供向心力求出行星的第一宇宙速度．

解答 解：A、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，行星的公轉(zhuǎn)周期T=$2πr\sqrt{\frac{r}{GM}}$，M為恒星的質(zhì)量，故A錯(cuò)誤．
B、根據(jù)$G\frac{m{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$得，行星表面的重力加速度g=$\frac{Gm}{{R}^{2}}$，故B正確．
C、根據(jù)$G\frac{mm′}{{R}^{2}}=m′\frac{{v}^{2}}{R}$得，該行星的第一宇宙速度$v=\sqrt{\frac{Gm}{R}}$，故C正確．
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，行星的線速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，M為恒星的質(zhì)量，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運(yùn)用．