Question

7．如圖所示，在摩擦因數(shù)為μ的平面上豎直固定一半徑為R的光滑半圓槽軌道，其底端恰與水平面相切，質(zhì)量為m的小球以一定初速度從A點(diǎn)開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)半圓槽軌道最低點(diǎn)B滾上半圓槽，小球恰能通過(guò)最高點(diǎn)C后落回到水平面上的A點(diǎn)． （不計(jì)空氣阻力，已知m=1kg  μ=0.25  R=$\frac{10}{6}$m  重力加速度g=10m/s²）求：
（1）小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓槽的壓力大小；
（2）小球的初速度v₀．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球在B點(diǎn)時(shí)受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求B受到的支持力，進(jìn)而由牛頓第三定律得到B對(duì)圓槽的壓力；
（2）小球恰能通過(guò)最高點(diǎn)C，即重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在C點(diǎn)的速度，小球離開(kāi)C點(diǎn)后作平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)求出AB兩點(diǎn)間的距離．根據(jù)動(dòng)能定理即可求出A點(diǎn)的初速度．

解答 解：（1）則mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，v_C=$\sqrt{gR}$
在B點(diǎn)小球做圓周運(yùn)動(dòng)，
F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
得：F=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
B到C的過(guò)程中機(jī)械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}+2mgR=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
聯(lián)立得：${v}_{B}=\sqrt{5gR}$，F(xiàn)=60N
由牛頓第三定律知小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓槽的壓力大是60N；
（2）在C點(diǎn)小球恰能通過(guò)，故只有重力提供向心力，
過(guò)C點(diǎn)小球做平拋運(yùn)動(dòng)：s_AB=v_Ct
h=$\frac{1}{2}$gt²　
h=2R
聯(lián)立以上各式可得s_AB=2R．
由A到B的過(guò)程中摩擦力做功，得：$μmgs=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
聯(lián)立上幾式可得：v₀=10m/s
答：（1）小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓槽的壓力大小是60N；
（2）小球的初速度是10m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確小球的運(yùn)動(dòng)情況，然后分過(guò)程運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式和向心力公式列式求解．