Question

【題目】過(guò)山車(chē)是游樂(lè)場(chǎng)中常見(jiàn)的設(shè)施。下圖是一種過(guò)山車(chē)的簡(jiǎn)易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道組成，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑、。一個(gè)質(zhì)量為kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距m。小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)，圓形軌道是光滑的。假設(shè)水平軌道足夠長(zhǎng)，圓形軌道間不相互重疊，如果小球恰能通過(guò)第二圓形軌道。如果要使小球不能脫離軌道，試求在第三個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑應(yīng)滿(mǎn)足的條件。（重力加速度取，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字。）

Answer 1

【答案】或

【解析】

設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v2，由題意

①

②

由①②得 ③

要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：

I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過(guò)第三個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v3，應(yīng)滿(mǎn)足

④

⑤

由④⑤得 ⑥

II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R3，根據(jù)動(dòng)能定理

⑦

解得 ⑧

為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應(yīng)滿(mǎn)足

⑨

解得：R3=27.9m ⑩

綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個(gè)圓軌道的半徑須滿(mǎn)足下面的條件

或 ⑾