Question

如圖所示，在第一象限區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=2.0×10^-3T，一帶正電荷的粒子A以v=3.5×10⁴m/s的速率從x軸上的P（0.50，0）處以與x軸正方向成某一角度的方向垂直射入磁場(chǎng)，從
y軸上的M（0，0.50）處射出磁場(chǎng)，且運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑是所有可能半徑值中的最小值．設(shè)粒子A的質(zhì)量為m、電荷量為q．不計(jì)粒子的重力．
（1）求粒子A的比荷

q

m

；（計(jì)算結(jié)果請(qǐng)保留兩位有效數(shù)字，下同）
（2）如果粒子A運(yùn)動(dòng)過程中的某個(gè)時(shí)刻，在第一象限內(nèi)再加一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，就可以使其此后沿x軸負(fù)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)并離開第一象限，求該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向，并求出粒子射出磁場(chǎng)處的坐標(biāo)值；
（3）如果要粒子A按題干要求從M處射出磁場(chǎng)，第一象限內(nèi)的磁場(chǎng)可以局限在一個(gè)最小的矩形區(qū)域內(nèi)，求出這個(gè)最小的矩形區(qū)域的面積．

Answer 1

分析：（1）考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡可以求得粒子的比荷．
（2）粒子做的是勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以粒子處于受力平衡狀態(tài)，由此可以求得電場(chǎng)的大小和方向．
（3）是帶電粒子在有界磁場(chǎng)（矩形區(qū)域）中的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)磁場(chǎng)和帶電粒子的軌跡相切時(shí)，磁場(chǎng)的面積最小

解答：解：  
（1）該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為r，如圖甲，依題意MP連線即為該粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最小直徑，由幾何關(guān)系得：
r=

2 x 2 P

2

=

2

4

m=0.35m          ①
粒子圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供，故有：
qvB=m

v2

r

   ②
由①②解得

q

m

=

v

Br

=5.0×10-7C/kg


（2）設(shè)所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E，如圖乙所示，當(dāng)粒子經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)，速度沿x軸負(fù)方向，依題意，在此時(shí)加一個(gè)沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)、電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡則有：
Eq=qvB
代入數(shù)據(jù)得：E=70N/C
所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)方向沿y軸正方向．
由幾何關(guān)系可知，圓弧MQ所對(duì)應(yīng)的圓心角為45°則射出點(diǎn)A對(duì)應(yīng)y軸截距為：
|OA|=r+

1

2

.

OP

=(

2

4

+

0.5

2

)m=0.60m
所以粒子射出磁場(chǎng)處A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0.60）
（3）如圖丙，
所求的最小矩形是MM₁P₁P
該區(qū)域面積為：s=2r²，代入r=0.35可得：
s=0.25m²
答：（1）粒子A的比荷

q

m

=5.0×10^-7C/kg；
（2）如果粒子A運(yùn)動(dòng)過程中的某個(gè)時(shí)刻，在第一象限內(nèi)再加一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，就可以使其此后沿x軸負(fù)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)并離開第一象限，求該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向，粒子射出磁場(chǎng)處的坐標(biāo)值（0，0.6）；
（3）如果要粒子A按題干要求從M處射出磁場(chǎng)，第一象限內(nèi)的磁場(chǎng)可以局限在一個(gè)最小的矩形區(qū)域內(nèi)，這個(gè)最小的矩形區(qū)域的面積s=0.25m²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．