Question

如圖所示，長度均為l、電阻均為R的兩導(dǎo)體桿ab、cd，通過兩條足夠長的不可伸縮的輕質(zhì)柔軟導(dǎo)線連接起來（導(dǎo)線電阻不計(jì)），形成閉合回路，并分別跨過兩個(gè)間距為l的定滑輪，使ab水平置于傾角為θ的足夠長絕緣斜面上，cd水平懸掛于豎直平面內(nèi)．斜面上的空間內(nèi)存在垂直斜面向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，cd桿初始位置以下的空間存在水平向左的磁感應(yīng)強(qiáng)度也為B的勻強(qiáng)磁場．a(chǎn)b、cd桿質(zhì)量均為m，ab桿與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，不計(jì)滑輪的一切阻力．
（1）若由靜止釋放，cd將向下運(yùn)動(dòng)，并帶動(dòng)ab沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它們速率為v時(shí)，回路中的電流大小是多少？
（2）若由靜止釋放，當(dāng)cd下落h高度時(shí)，恰好達(dá)到最大速度v_m，這一過程回路電流產(chǎn)生的電熱為多少？
（3）t₀=0時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，若要cd帶動(dòng)ab從靜止開始沿斜面向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a（a＜g），則在ab桿上需要施加的平行斜面的外力F與作用時(shí)間t應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)右手定則可確定兩導(dǎo)體桿ab、cd產(chǎn)生感應(yīng)電流方向，從而得出兩導(dǎo)體桿切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢正好相加，再由閉合電路歐姆定律，可求出回路中的電流大��；
（2）將兩導(dǎo)體桿ab、cd及導(dǎo)線看成一個(gè)整體，從靜止開始到速度恰好達(dá)到最大，利用動(dòng)能定理，可算出過程回路電流產(chǎn)生的電熱；
（3）分別對兩導(dǎo)體桿受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律列出方程，從而得出外力與時(shí)間的關(guān)系式．同時(shí)根據(jù)導(dǎo)線的拉力為零，可確定運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間．

解答：解：（1）對ab、cd兩導(dǎo)體桿由法拉第電磁感應(yīng)定律可得：E_a=E_b=Blv
 由右手定則判定得ab、cd兩導(dǎo)體桿由于切割感應(yīng)線在閉合回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流方向相同，
所以  I=

2Blv

2R

=

Blv

R

（2）設(shè)全程產(chǎn)生的電熱為Q，導(dǎo)線對ab導(dǎo)體桿做功W_ab，導(dǎo)線對cd導(dǎo)體桿做W_cd，
因W_ab+W_cd=0，所以mgh-mghsinθ-μmghcosθ+W=

1

2

×2m

v

2 m

又Q=-W，則有Q=mgh（1-sinθ-μcosθ）-m

v

2 m

（3）設(shè)每根導(dǎo)線對導(dǎo)體桿的拉力為T，保持a從靜止開始加速運(yùn)動(dòng)所需平行斜面的外力為F，經(jīng)時(shí)間t，則v=at，
對ab，F(xiàn)+2T-mgsinθ-μmgcosθ-

B2l2v

R

=ma
對cd，mg-2T-

B2l2v

R

=ma
由上各式解得：
F=2ma-mg（1-sinθ-μcosθ）+

2B2l2at

R

 
當(dāng)軟導(dǎo)線拉力為零時(shí)，則有mg-

B2l2atmax

R

=ma
解得：tmax=

m(g-a)R

B2l2a

若要cd帶動(dòng)ab從靜止開始沿斜面向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則在ab桿上需要施加的平行斜面的外力F與作用時(shí)間t應(yīng)滿足
F=2ma-mg（1-sinθ-μcosθ）+

2B2l2at

R

 
且t＜

m(g-a)R

B2l2a

，（a＜g）
答：（1）由靜止釋放，cd將向下運(yùn)動(dòng)，并帶動(dòng)ab沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它們速率為v時(shí)，回路中的電流大小是

Blv

R

；（2）由靜止釋放，當(dāng)cd下落h高度時(shí)，恰好達(dá)到最大速度v_m，這一過程回路電流產(chǎn)生的電熱為mgh（1-sinθ-μcosθ）-m

v

2 m

；
（3）t₀=0時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，若要cd帶動(dòng)ab從靜止開始沿斜面向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a（a＜g），則在ab桿上需要施加的平行斜面的外力F與作用時(shí)間t應(yīng)滿足F=2ma-mg（1-sinθ-μcosθ）+

2B2l2at

R

 
且t＜

m(g-a)R

B2l2a

，（a＜g）

點(diǎn)評：考查右手定則、法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律，同時(shí)運(yùn)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律并結(jié)合數(shù)學(xué)知識分析．注意兩導(dǎo)體桿產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢相加的緣由，同時(shí)搞清動(dòng)能定理中各力做功的正負(fù)．