Question

6．如圖所示，在以O(shè)₁點(diǎn)為圓心且半徑為r=0.10m的圓形區(qū)域內(nèi)，存在著豎直向下、場(chǎng)強(qiáng)大小為E=4$\sqrt{3}$×10⁵ V/m的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫(huà)出）．圓的左端跟y軸相切于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O，右端與一個(gè)足夠大的熒光屏MN相切于x軸上的A點(diǎn)．一比荷$\frac{q}{m}$=1.0×10⁸ C/kg的帶正電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正方向入射，粒子重力不計(jì)．
（1）若粒子在圓形區(qū)域的邊界Q點(diǎn)射出勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域，O₁A與O₁Q之間的夾角為θ=60°，求粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O入射的初速度v₀；
（2）撤去電場(chǎng)，在該圓形區(qū)域內(nèi)加一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.15T、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且將該圓形磁場(chǎng)以過(guò)O點(diǎn)并垂直于紙面的直線(xiàn)為軸，逆時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)90°，在此過(guò)程中不間斷地射入題干中所述粒子，粒子入射的速度等于（1）中求出的v₀，求在此過(guò)程中打在熒光屏MN上的粒子與A點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離．

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使粒子能打在熒光屏上，粒子速度的偏向角應(yīng)大于90°，當(dāng)粒子恰好不打到熒光屏上時(shí)，粒子從磁場(chǎng)的最高點(diǎn)射出磁場(chǎng)，畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)求出半徑，由牛頓第二定律求出此時(shí)速度，即可速度v₀應(yīng)滿(mǎn)足的條件．
（2）若粒子流的速度v₀=3.0×10⁶m/s，由牛頓第二定律求出粒子軌跡的半徑．當(dāng)圓形磁場(chǎng)區(qū)域轉(zhuǎn)過(guò)90°時(shí)，磁場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況不變，根據(jù)作圖分析P點(diǎn)為最高點(diǎn)的位置，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出粒子打在熒光屏上離A的最遠(yuǎn)距離．

解答 解：（1）由題意可知，該粒子將在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)其在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a，則有：
r+rcosθ=v₀t，
rsinθ=$\frac{1}{2}$at²，
qE=ma，
以上三式聯(lián)立可得：v₀=（1+cosθ）$\sqrt{\frac{qEr}{2msinθ}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=3×10⁶ m/s．
（2）由題意可知，粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為：R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=0.2m，
以O(shè)點(diǎn)為圓心、OA=0.2m為半徑做出圓弧AC交y軸于C點(diǎn)，
以C點(diǎn)為圓心、CO為半徑作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡交弧AC于D點(diǎn)，
則OD=2r=0.2m，如圖所示，過(guò)D點(diǎn)作切線(xiàn)，分別交OA于F點(diǎn)，交MN于E點(diǎn)，
則E點(diǎn)即粒子能夠打在熒光屏MN上的粒子離A點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離，
由幾何關(guān)系可知：sinα=$\frac{r}{R}$，
所以：OF=Rtanα，
因此AF=2r-OF，
由幾何關(guān)系可知∠EFA=2α，
所以AE=AFtan2α，
以上各式聯(lián)立解得：AE=$\frac{\sqrt{3}-1}{5}$ m．
答：（1）粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O入射的初速度v₀為3×10⁶m/s；
（2）在此過(guò)程中打在熒光屏MN上的粒子與A點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為$\frac{\sqrt{3}-1}{5}$m．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)解題常用的程序是：
1、畫(huà)軌跡：確定圓心，幾何方法求半徑并畫(huà)出軌跡．
2、找關(guān)系：軌跡半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、速度聯(lián)系；偏轉(zhuǎn)角度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間相聯(lián)系，時(shí)間與周期聯(lián)系．
3、用規(guī)律：牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．