Question

如圖所示，寬度為L(zhǎng)的平行光滑的金屬軌道，左端為半徑為r₁的四分之一圓弧軌道，右端為半徑為r₂的半圓軌道，中部為與它們相切的水平軌道．水平軌道所在的區(qū)域有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一根質(zhì)量為m的金屬桿a置于水平軌道上，另一根質(zhì)量為M的金屬桿b由靜止開始自左端軌道最高點(diǎn)滑下，當(dāng)b滑入水平軌道某位置時(shí)，a就滑上了右端半圓軌道最高點(diǎn)（b始終運(yùn)動(dòng)且a、b未相撞），并且a在最高點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小為mg，此過程中通過a的電荷量為q，a、b棒的電阻分別為R₁、R₂，其余部分電阻不計(jì)．在b由靜止釋放到a運(yùn)動(dòng)到右端半圓軌道最高點(diǎn)過程中，求：
（1）在水平軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)b的最大加速度是多大？
（2）自b釋放到a到達(dá)右端半圓軌道最高點(diǎn)過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱是多少？
（3）a剛到達(dá)右端半圓軌道最低點(diǎn)時(shí)b的速度是多大？

Answer 1

分析：（1）b棒從左側(cè)軌道下滑的過程中，只有重力做功，其機(jī)械能守恒，求出b進(jìn)入剛進(jìn)入水平軌道時(shí)的速度大�。�進(jìn)入水平軌道后b棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，a棒由于受到安培力作用向右運(yùn)動(dòng)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)將要減小，感應(yīng)電流也減小，則知b棒的加速度減小，則b棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)加速度最大，由牛頓第二定律和安培力公式結(jié)合求解．
（2）此過程中通過a的電荷量為q，根據(jù)動(dòng)量定理求出b棒后來的速度．對(duì)a棒：由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求出通過最高點(diǎn)時(shí)的速度，由機(jī)械能守恒定律求出離開磁場(chǎng)時(shí)的速度．由能量守恒定律即可求解系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）當(dāng)兩棒都在水平軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩棒組成的系統(tǒng)合外力為零，動(dòng)量守恒，可求出a剛到達(dá)右端半圓軌道最低點(diǎn)時(shí)b的速度．

解答：解：（1）b棒從左側(cè)軌道下滑的過程，由機(jī)械能守恒定律：

1

2

M

v

2 b1

=Mgr1
∴vb1=

2gr1

b剛滑到水平軌道時(shí)加速度最大，
由E=BLv_b1，I=

E

R1+R2

，F(xiàn)_安=BIL=Ma得
∴a=

B2L2 2gr1

M(R1+R2)

（2）根據(jù)動(dòng)量定理得-BILt=Mv_b2-Mv_b1           
又It=q，即-BLq=Mv_b2-Mv_b1
∴vb2=

2gr1

-

BLq

M

對(duì)a棒，在根據(jù)牛頓第三定律得：N=N′=mg
在軌道最高點(diǎn)：mg+N=m

v 2 a1

r2

∴va1=

2gr2

根據(jù)能量守恒定律得：
Mgr1=

1

2

M

v

2 b2

+

1

2

m

v

2 a1

+mg2r2+Q
得Q=

2gr1

BLq-3mgr2-

B2L2q2

2M

（3）∵2mgr2=

1

2

m

v

2 a2

-

1

2

m

v

2 a1

∴va2=

6gr2

當(dāng)兩棒都在水平軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩棒組成的系統(tǒng)合外力為零，動(dòng)量守恒，則有
  Mv_b1=Mv_b3+mv_a2
∴vb3=

2gr1

-

m

M

6gr2

答：
（1）在水平軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)b的最大加速度是

B2L2 2gr1

M(R1+R2)

．
（2）自b釋放到a到達(dá)右端半圓軌道最高點(diǎn)過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱是

2gr1

BLq-3mgr₂-

B2L2q2

2M

．
（3）a剛到達(dá)右端半圓軌道最低點(diǎn)時(shí)b的速度是

2gr1

-

m

M

6gr2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是“雙桿”類型，兩棒都在水平軌道上運(yùn)動(dòng)的過程類似于碰撞，基本規(guī)律是動(dòng)量守恒和能量守恒，本題綜合性較強(qiáng)．