Question

（20分）如圖所示，一容器左側裝有活門，右側裝有活塞B，一厚度可以忽略的隔板M將容器隔成a、b兩室，M上裝有活門。容器、隔板、活塞及活門都是絕熱的。隔板和活塞可用銷釘固定，拔掉銷釘即可在容器內左右平移，移動時不受摩擦作用且不漏氣。整個容器置于壓強為P₀、溫度為T₀的大氣中。初始時將活塞B用銷釘固定在圖示的位置，隔板M固定在容器PQ處，使a、b兩室體積都等于V₀；、關閉。此時，b室真空，a室裝有一定量的空氣（容器內外氣體種類相同，且均可視為理想氣體），其壓強為4P₀/5，溫度為T₀。已知1mol空氣溫度升高1K時內能的增量為C_V，普適氣體常量為R。

　　1.現(xiàn)在打開，待容器內外壓強相等時迅速關閉（假定此過程中處在容器內的氣體與處在容器外的氣體之間無熱量交換），求達到平衡時，a室中氣體的溫度。

　　2.接著打開，待a、b兩室中氣體達到平衡后，關閉。拔掉所有銷釘，緩慢推動活塞B直至到過容器的PQ位置。求在推動活塞過程中，隔板對a室氣體所作的功。已知在推動活塞過程中，氣體的壓強P與體積V之間的關系為＝恒量。

Answer 1

解析：

1．設a室中原有氣體為，打開K₁后，有一部分空氣進入a室，直到K₁關閉時，a室中氣體增加到，設a室中增加的氣體在進入容器前的體積為，氣體進入a室的過程中，大氣對這部分氣體所作的功為

                                       （1）

用T 表示K₁關閉后a室中氣體達到平衡時的溫度，則a室中氣體內能增加量為

                                   （2）

由熱力學第一定律可知

                                                     （3）

由理想氣體狀態(tài)方程，有

                                            （4）

                                    （5）

                                               （6）

由以上各式解出

                                         （7）

2．K₂打開后，a室中的氣體向b室自由膨脹，因系統(tǒng)絕熱又無外界做功，氣體內能不變，所以溫度不變（仍為），而體積增大為原來的2倍．由狀態(tài)方程知，氣體壓強變?yōu)?/p>

                                                    （8）

關閉K₂，兩室中的氣體狀態(tài)相同，即

，，，且    （9）

拔掉銷釘后，緩慢推動活塞B，壓縮氣體的過程為絕熱過程，達到最終狀態(tài)時，設兩室氣體的壓強、體積和溫度分別為、、、、、，則有

                                    （10）

                                   （11）

由于隔板與容器內壁無摩擦，故有

                                                     （12）

由理想氣體狀態(tài)方程，則有

                                            （13）

                                           （14）

因

                                               （15）

由（8）～（15）式可得

                                            （16）

                                          （17）

在推動活塞壓縮氣體這一絕熱過程中，隔板對a室氣體作的功W等于a室中氣體內能的增加，即

                                   （18）

由（6）、（17）和（18）式得

                               （19）