Question

如圖1所示，兩根足夠長、電阻不計的光滑金屬導(dǎo)軌相距為L₁=1m，導(dǎo)軌與平面成θ=30°角，上端接一個阻值為R=1.5Ω電阻；質(zhì)量為m=0.2kg、阻值為r=0.5Ω的金屬棒ab放在兩導(dǎo)軌上，距離導(dǎo)軌最上端L₂=4m，棒與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸．整個裝置處于一垂直于導(dǎo)軌平面的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度隨時間的變化關(guān)系如圖2甲所示．開始時，為保持ab靜止，在棒上加一平行于斜面的外力F，當(dāng)t=2s時，F(xiàn)恰好為零．求：
（1）在0-3s時間內(nèi)磁感應(yīng)強度的變化率△B/△t=？
（2）t=2.5s時，外力F的大小及方向．
（3）在t=4s時，突然撤去外力，當(dāng)金屬棒在以后運動達到穩(wěn)定時其兩端的電壓U_ab=？
（4）在圖2乙中畫出前4s內(nèi)外力F隨時間的變化圖象（以沿斜面向上為力的正方向）

Answer 1

分析：（1）由題意當(dāng)t=2s時，F(xiàn)恰好為零，此時棒所受的安培力與重力沿斜面向下的分力平衡，由平衡條件列式可求出感應(yīng)電流，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律結(jié)合即可求出B的變化率．
（2）t=2.5s時，棒ab靜止，根據(jù)平衡條件列式求外力的大小，判斷方向．
（3）由圖2知，3s后磁感應(yīng)強度B不變，在t=4s時，撤去外力，金屬棒沿斜面向下先做加速度減小的加速運動，后做勻速運動，達到了穩(wěn)定狀態(tài)，此時合力為零，由平衡條件求出感應(yīng)電流，由歐姆定律求電壓U_ab．
（4）根據(jù)平衡條件得到F的表達式，再作出圖象．

解答：解：（1）因為t=2s時，F(xiàn)恰好為零，棒處于靜止?fàn)顟B(tài)，則有
    mgsin30°=BIL₁
  又I=

E

R+r

，E=

△B

△t

L₁L₂，B=

△B

△t

t=2

△B

△t

，
聯(lián)立解得，

△B

△t

=0.5T/s
（2）t=2.5s時，B=

△B

△t

t=0.5×2.5s=1.25T
由上題得：I=1A
則安培力F_安=BIL₁=1.25N
由平衡條件得：F=F_安-mgsin30°=0.25N，方向沿斜面向下  
（3）在t=4s時與t=3s時B相等，B=

△B

△t

t=1.5T
當(dāng)棒勻速下滑時在達到穩(wěn)定狀態(tài)，則有
   mgsin30°=BIL₁
解得，I=

2

3

A
又U_ab=IR=1V 
（4）在0-3s內(nèi)：由mgsin30°=F+BIL₁
又B=

△B

△t

t=0.5t（T），I=1A，L₁=1m，代入上式得
   F=1-0.5t（N）
在3-4s內(nèi)，F(xiàn)=mgsin30°=1N
作圖如下．
 
答：
（1）在0-3s時間內(nèi)磁感應(yīng)強度的變化率

△B

△t

為0.5T/s．
（2）t=2.5s時，外力F的大小0.25N，方向沿斜面向下．
（3）在t=4s時，突然撤去外力，當(dāng)金屬棒在以后運動達到穩(wěn)定時其兩端的電壓U_ab為1V．
（4）在圖2乙中畫出前4s內(nèi)外力F隨時間的變化圖象如圖．

點評：本題綜合了電磁感應(yīng)中法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、安培力及力學(xué)中力平衡知識，綜合性較強，安培力的分析和計算是關(guān)鍵．