Question

14．一探測(cè)器探測(cè)某星球表面時(shí)做了兩次測(cè)量．探測(cè)器先在近星軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)測(cè)出    運(yùn)行周期T；著陸后，探測(cè)器將一小球以不同的速度豎直向上拋出，測(cè)出了小球上升的最大高度h與拋出速度v的二次方的關(guān)系，如圖所示，圖中a，b已知，引力常量為G，忽略空氣阻力的影響，根據(jù)以上信息可求得（　�。�

• A． 該星球表面的重力加速度為$\frac{2b}{a}$
• B． 該星球的半徑為$\frac{{b{T^2}}}{{8a{π^2}}}$
• C． 該星球的密度為$\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• D． 該星球的第一宇宙速度為$\frac{4aT}{πb}$

Answer 1

分析 根據(jù)重力等于萬有引力，結(jié)合圖象的斜率即可求出重力加速度；
根據(jù)萬有引力提供向心力求出星球的質(zhì)量，結(jié)合星球的體積求出星球的密度．
第一宇宙速度是衛(wèi)星在近地圓軌道上的環(huán)繞速度，重力等于萬有引力，萬有引力提供向心力，列式求解．

解答 解：A、物體豎直上拋，上升的最大高度$h=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2g}$，$h-{v}_{\;}^{2}$直線的斜率$k=\frac{1}{2g}=\frac{a}$，得$g=\frac{2a}$，故A錯(cuò)誤；
B、探測(cè)器在近星軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)星球半徑為R，根據(jù)萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM}}$①
對(duì)星球表面任意一個(gè)物體，有$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$②
聯(lián)立①②得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$，將$g=\frac{2a}$代入解得R=$\frac{b{T}_{\;}^{2}}{8a{π}_{\;}^{2}}$，故B正確；
C、探測(cè)器先在近星軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，解得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
由密度公式有$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，故C正確；
D、該星球的近地衛(wèi)星的運(yùn)行速度即第一宇宙速度，由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，得$v=\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2a}×\frac{b{T}_{\;}^{2}}{8a{π}_{\;}^{2}}}$=$\frac{bT}{4πa}$，故D錯(cuò)誤；
故選：BC

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力定律的兩個(gè)重要運(yùn)用：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，通過運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合圖象求出星球表面的重力加速度是解決本題的關(guān)鍵．