Question

6．根據(jù)實(shí)際需要，磁鐵可以制造成多種形狀，如圖就是一根很長的光滑圓柱形磁棒，在它的側(cè)面有均勻向外的輻射狀磁場．現(xiàn)將磁棒豎直固定在水平面上，磁棒外套有一個粗細(xì)均勻圓形金屬線圈，金屬線圈的質(zhì)量為m，半徑為R，電阻為r，金屬線圈所在位置的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．讓金屬線圈從磁棒上端靜止釋放，經(jīng)一段時間后與水平面相碰并原速率反彈，又經(jīng)時間t，上升速度減小到零．則關(guān)于金屬線圈與地面撞擊前的速度ν，撞擊反彈后上升到最高點(diǎn)的過程中，通過金屬線圈某一截面的電量q，下列說法中正確的是（　　）

• A． $ν=\frac{mgr}{{4{B^2}{R^2}}}$
• B． $q=\frac{mgt}{2BπR}$
• C． $q=\frac{{{m^2}gr}}{{8{π^3}{B^3}{R^3}}}-\frac{mgt}{2πBR}$
• D． q=0

Answer 1

分析 （1）線圈下落過程中垂直切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，由E=BLv、I=$\frac{E}{r}$、F_A=BIL得到安培力的表達(dá)式，由牛頓第二定律分析線圈加速度的變化，判斷線圈的運(yùn)動情況：安培力逐漸增大，加速度逐漸減小，當(dāng)安培力與重力平衡時，線圈做勻速直線運(yùn)動，速度達(dá)到最大，由平衡條件可求出最大速度．
（2）根據(jù)牛頓第二定律得到反彈上升過程中線圈加速度的表達(dá)式，采用積分法求出電量q

解答 解：A、線圈第一次下落過程中有E=B•2πRv、I=$\frac{E}{r}$、F_A=BIL=BI•2πR，得安培力大小為：
F_A=$\frac{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}v}{r}$
根據(jù)牛頓第二定律得：
mg-F_A=ma
可知線圈做加速度減小的加速運(yùn)動，當(dāng)a=0時，速度最大，代入求得最大速度為：υ_m=$\frac{mgr}{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}$，故A錯誤；
B、反彈后上升的過程中某一時刻，由牛頓運(yùn)動定律得：mg+BI•2πR=ma
則得：mg△t+BI•2πR•△t=ma△t
在一段微小時間△t內(nèi)，速度增量為△υ=a△t，通過線圈截面電量為：△q=I△t
則：△q=$\frac{ma△t-mg△t}{2πBR}$
得到：∑△q=$\frac{∑（ma-mg）△t}{2πBR}$，
又∑ma△t=∑m△v=mv_m=$\frac{{m}^{2}gr}{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}$，
∑mg△t=mgt₁，
故：q=$\frac{{m}^{2}gr}{8{π}^{3}{B}^{3}{R}^{3}}$-$\frac{mg{t}_{1}}{2πBR}$，故C正確，BD錯誤；
故選：C．

點(diǎn)評 本題是電磁感應(yīng)問題，難點(diǎn)是采用積分法求解非勻變速運(yùn)動的速度和高度，從牛頓第二定律入手，采取微元法，得到一段微小時間△t內(nèi)速度的變化量和高度變化量，再積分．難度較大，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力．