Question

（2011?金華二模）如圖甲所示，直角坐標(biāo)系中直線AB與橫軸x夾角∠BAO=30°，AO長(zhǎng)為a．假設(shè)在點(diǎn)A處有一放射源可沿∠BAO所夾范圍內(nèi)的各個(gè)方向放射出質(zhì)量為m、速度大小均為v、帶電量為e的電子，電子重力忽略不計(jì)．在三角形ABO內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，當(dāng)電子從頂點(diǎn)A沿AB方向射入磁場(chǎng)時(shí)，電子恰好從O點(diǎn)射出．試求：
①?gòu)捻旤c(diǎn)A沿AB方向射入的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
②磁場(chǎng)大小、方向保持不變，改變勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布區(qū)域，使磁場(chǎng)存在于三角形ABO內(nèi)的左側(cè)，要使放射出的電子穿過磁場(chǎng)后都垂直穿過y軸后向右運(yùn)動(dòng)，試求勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域分布的最小面積S．
③磁場(chǎng)大小、方向保持不變，現(xiàn)改變勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布區(qū)域，使磁場(chǎng)存在于y軸與虛線之間，示意圖見圖乙所示，仍使放射出的電子最后都垂直穿過y軸后向右運(yùn)動(dòng)，試確定勻強(qiáng)磁場(chǎng)左側(cè)邊界虛線的曲線方程．

Answer 1

分析：（1）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式和周期公式可以求得粒子的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）以AB方向發(fā)射的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與AO中垂線交點(diǎn)的左側(cè)圓弧，有界磁場(chǎng)的上邊界：以A點(diǎn)正上方、距A點(diǎn)的距離為a的點(diǎn)為圓心，以a為半徑的圓�。�
（3）根據(jù)所有的電子最后都垂直穿過y軸后向右運(yùn)動(dòng)，做出電子的運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系可以求得左側(cè)邊界虛線的曲線方程．

解答：解：（1）根據(jù)題意，電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R=a，
由evB=

mv2

a

  
得：B=

mv

ea

   
由T=

2πm

eB

  
t=

T

6

=

πa

3v

    
（2）有界磁場(chǎng)的上邊界：
以AB方向發(fā)射的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與AO中垂線交點(diǎn)的左側(cè)圓弧 
有界磁場(chǎng)的上邊界：以A點(diǎn)正上方、距A點(diǎn)的距離為a的點(diǎn)為圓心，以a為半徑的圓弧． 
故最小磁場(chǎng)區(qū)域面積為：2(

πa2

12

-a2sin150cos150)=

(π-3)a2

6

（3）設(shè)在坐標(biāo)（x，y）的點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，
由相似三角形得到：

y+b

(-x)

=

a-(-x)

y

圓的方程為：x²+（y+b）²=a²
消去（y+b），磁場(chǎng)邊界的方程為：y=

-x(a+x)

a2-x2

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．