Question

3．如圖所示，真空中有以O(shè)₁為圓心，r為半徑的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓形磁場邊界上的一點(diǎn)．磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外．x=r的虛線右側(cè)足夠大的范圍內(nèi)有方向豎直向下、大小為E的勻強(qiáng)電場．從O點(diǎn)在紙面內(nèi)向各個(gè)不同方向發(fā)射速率相同的質(zhì)子，設(shè)質(zhì)子在磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑也為r，已知質(zhì)子的電荷量為e，質(zhì)量為m．求：
（1）質(zhì)子射入磁場時(shí)的速度大��；
（2）速度方向y軸正方向射入磁場的質(zhì)子到達(dá)x軸所需的時(shí)間；
（3）如圖所示，速度方向與y軸正方向成30°角、與x軸正方向成120°角射入磁場的質(zhì)子到達(dá)x軸時(shí)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)子射入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，即可求得質(zhì)子射入磁場時(shí)的速度大��；
（2）質(zhì)子沿y軸正方向射入，在磁場中以O(shè)₂為圓心轉(zhuǎn)過$\frac{1}{4}$圓弧后從A點(diǎn)垂直于電場方向進(jìn)入電場．在磁場中的運(yùn)動為$\frac{1}{4}$周期；質(zhì)子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，將運(yùn)動沿電場方向和垂直于電場的方向分解，即可求得粒子在電場中運(yùn)動的時(shí)間；t=t₁+t₂；
（3）若粒子速度方向與y軸正方向成30°角射入磁場，畫出運(yùn)動的軌跡，找出出射點(diǎn)的幾何關(guān)系，然后按照粒子在磁場中運(yùn)動的規(guī)律和粒子在電場中運(yùn)動的規(guī)律，分別列出公式，即可求解．

解答 解：（1）設(shè)質(zhì)子射磁場時(shí)的速度為v．質(zhì)子射入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，有：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
所以：v=$\frac{eBr}{m}$
（2）如圖，質(zhì)子沿y軸正方向射入，在磁場中以O(shè)₂為圓心轉(zhuǎn)過$\frac{1}{4}$圓弧后從A點(diǎn)垂直于電場方向進(jìn)入電場．在磁場中的運(yùn)動周期為T=$\frac{2πm}{eB}$
所以質(zhì)子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間：t₁=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2eB}$
質(zhì)子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，其側(cè)移距離y=$\frac{1}{2}$at₂²=r
質(zhì)子在電場中的加速度：a=$\frac{eE}{m}$
所以質(zhì)子在電場中的運(yùn)動時(shí)間t₂=$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$
故質(zhì)子到達(dá)x軸所需的時(shí)間t=t₁+t₂=$\frac{πm}{2eB}$+$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$
（3）質(zhì)子射入磁場后，在磁場中以O(shè)₃為圓心做勻速圓周運(yùn)動，從P點(diǎn)射出磁場，如圖所示，OO₁PO₃是邊長為r的菱形，PO₃平行于y軸，質(zhì)子射出磁場后速度方向與x軸平行．
P點(diǎn)距x軸的距離h=r+rcos60°
質(zhì)子垂直于電場方向進(jìn)入電場做類平拋運(yùn)動，到達(dá)x軸上的Q點(diǎn)．豎直方向的位移：h=$\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}{t}^{2}$
水平方向的位移為：s=vt
解得：s=Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$
所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（r+Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$，0）
答：
（1）質(zhì)子射入磁場時(shí)的速度大小為$\frac{eBr}{m}$；
（2）速度方向沿y軸正方向射入磁場的質(zhì)子到達(dá)x軸所需的時(shí)間為 $\frac{πm}{2eB}$+$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$；
（3）速度方向與y軸正方向成37°角且與x軸正方向成127°角射入磁場的質(zhì)子到達(dá)x軸時(shí)的位置坐標(biāo)為（r+Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$，0）．

點(diǎn)評 電荷在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，關(guān)鍵是畫出軌跡，由幾何知識求出半徑．定圓心角，求時(shí)間，類平拋運(yùn)動應(yīng)用運(yùn)動分解法求解．