Question

4．如圖所示，在豎直平面內(nèi)，半徑為2R的四分之一圓弧軌道AB與半徑為R的半圓軌道BC在B點(diǎn)平滑連接，C、A兩點(diǎn)在同-水平線上，C、B兩點(diǎn)在同一豎直線上（中點(diǎn)為O），圓弧AB上的D點(diǎn)與O點(diǎn)等高．一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊自距A點(diǎn)高為R的P點(diǎn)自由下落，從A點(diǎn)沿切線進(jìn)入圓弧軌道AB后，恰能通過(guò)最高點(diǎn)C．已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，則小物塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中（　�。�

• A． 從P點(diǎn)到C點(diǎn)合外力做功為mgR
• B． 從P點(diǎn)到C點(diǎn)克服摩擦力做功$\frac{1}{2}$mgR
• C． 經(jīng)過(guò)B點(diǎn)前后瞬間，小物塊對(duì)軌道的壓力將變小
• D． 小物塊從C點(diǎn)飛出后，應(yīng)落在圓弧軌道BD之間

Answer 1

分析 從P點(diǎn)到C點(diǎn)合外力做功等于小物塊動(dòng)能的變化．根據(jù)小物塊恰能通過(guò)最高點(diǎn)C，由重力提供向心力，求出物塊通過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度，再由動(dòng)能定理求合外力做功．并由合外力做功等于各個(gè)力做功的代數(shù)和求克服摩擦力做功．在B點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓定律分析經(jīng)過(guò)B點(diǎn)前后瞬間小物塊對(duì)軌道的壓力如何變化．小物塊離開(kāi)C點(diǎn)后，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何知識(shí)結(jié)合分析落點(diǎn)的位置．

解答 解：A、小物塊恰能通過(guò)最高點(diǎn)C，由重力提供向心力，則 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得 v_C=$\sqrt{gR}$
從P點(diǎn)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：合外力做功 W_合=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0=$\frac{1}{2}$mgR，故A錯(cuò)誤．
B、根據(jù)W_合=mgR-W_f，得克服摩擦力做功 W_f=$\frac{1}{2}$mgR．故B正確．
C、經(jīng)過(guò)B點(diǎn)前后瞬間，小物塊的速率不變，以物塊為研究對(duì)象，由牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得 N=mg+m$\frac{{v}^{2}}{r}$，因軌道半徑減小，則軌道對(duì)小物塊的支持力變大，由牛頓第三定律知小物塊對(duì)軌道的壓力將變大，故C錯(cuò)誤．
D、小物塊從C點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有 x=v_Ct，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
又由幾何關(guān)系有 x²+y²=（2R）²．
解得 t²=$\frac{（\sqrt{5}-1）R}{g}$，y=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$R≈0.618R＜R，所以小物塊從C點(diǎn)飛出后，應(yīng)落在圓弧軌道AD之間，故D錯(cuò)誤．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，要把握臨界條件，知道物塊恰好通過(guò)C點(diǎn)時(shí)重力等于向心力．對(duì)于有條件的平拋運(yùn)動(dòng)，要挖掘隱含的幾何關(guān)系，分析水平位移和豎直位移的關(guān)系．