Question

8．如圖所示，兩個(gè)可導(dǎo)熱的汽缸豎直放置，它的底部由一細(xì)管連通（忽略細(xì)管的容積）．兩汽缸各有一活塞，質(zhì)量分別為m₁和m₂，活塞與汽缸壁無摩擦．活塞的下方為理想氣體，上方為真空．當(dāng)氣體處于平衡狀態(tài)時(shí)，兩活塞位于同一高度h．已知m₁=3m，m₂=2（假定兩汽缸上方真空部分足夠長，在氣體狀態(tài)變化過程中，兩物塊均不會碰到汽缸頂部．）
（1）求左右兩個(gè)活塞的面積比
（2）在兩活塞上同時(shí)各放一質(zhì)量為m的物塊，求氣體再次達(dá)到平衡后兩活塞的高度差（假定環(huán)境的溫度始終保持為T₀）．
（3）在達(dá)到上一問終態(tài)后，環(huán)境溫度由T₀緩慢上升到T，試問這個(gè)過程中，氣體對活塞做了多少功？氣體是吸收還是放出了熱量？

Answer 1

分析 （1）不加物體時(shí)，兩側(cè)等高，說明活塞產(chǎn)生的壓強(qiáng)相等；
（2）在兩活塞上同時(shí)各放一質(zhì)量為2m的物塊后，氣體全部在左側(cè)汽缸中，先求解出氣壓，然后根據(jù)玻意耳定律列式求解活塞的高度；
（3）等壓膨脹過程，先根據(jù)蓋-呂薩克定律列式求解末狀態(tài)活塞的高度，然后求解氣體對活塞做多少功．

解答 解：設(shè)左、右活塞的面積分別為s_A和s_B，由于氣體處于平衡狀態(tài)，故兩活塞對氣體的壓強(qiáng)相等，即：
$\frac{{m}_{1}g}{{S}_{1}}=\frac{{m}_{2}g}{{S}_{2}}$
解得：$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{3}{2}$
（2）由在兩個(gè)活塞上各加一質(zhì)量為m的物塊后，右邊物體對活塞產(chǎn)生的壓強(qiáng)較大，所以氣體向左氣缸移動，最終右活塞降至氣缸底部，所有氣體都在左氣缸中．
在初態(tài)，氣體的壓強(qiáng)為：${P}_{1}=\frac{{m}_{1}g}{{S}_{1}}=\frac{3mg}{{S}_{1}}$體積為：${V}_{1}=h{S}_{1}+h{S}_{2}=\frac{5}{3}h{S}_{1}$；
在末態(tài)，氣體壓強(qiáng)為：${P}_{2}=\frac{{m}_{1}g+mg}{{S}_{1}}=\frac{4mg}{{S}_{1}}$，體積為V₂=h′S₁（h′為左側(cè)氣柱高度）
由玻意耳定律得：P₁V₁=P₂V₂
代入數(shù)據(jù)解得：$h′=\frac{5}{4}h$
即兩活塞的高度差為$\frac{5}{4}h$
（3）當(dāng)溫度由T₀上升至T時(shí)，氣體做等壓變化，
設(shè)h″是溫度達(dá)到T時(shí)左活塞的高度，
由蓋•呂薩克定律得：$\frac{h′{S}_{1}}{{T}_{0}}=\frac{h″{S}_{2}}{T}$
解得：$h″=\frac{5hT}{4{T}_{0}}$
氣體對活塞做的功為：W=Fs=4mg（h″-h′）=$\frac{5mg（T-{T}_{0}）}{{T}_{0}}$
溫度升高，氣體內(nèi)能增大，根據(jù)熱力學(xué)第一定律知?dú)怏w應(yīng)從外界吸熱．
答：（1）左右兩個(gè)活塞的面積比$\frac{3}{2}$
（2）在兩活塞上同時(shí)各放一質(zhì)量為m的物塊，氣體再次達(dá)到平衡后兩活塞的高度差$\frac{5}{4}h$．
（3）在達(dá)到上一問終態(tài)后，環(huán)境溫度由T₀緩慢上升到T，試問這個(gè)過程中，氣體對活塞做功$\frac{5mg（T-{T}_{0}）}{{T}_{0}}$，氣體吸收熱量．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確氣體經(jīng)歷等壓過程，然后靈活地選擇氣體實(shí)驗(yàn)定律列方程求解左側(cè)活塞的高度，再根據(jù)功的公式列式求解．