Question

如圖所示，ABDO懸處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB是半徑R=15m的四分之一圓周軌道，半徑OA處于水平位置，BDO是直徑為15 m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央，一個(gè)小球P從A點(diǎn)的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，沿豎直平面內(nèi)的軌道通過(guò)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力等于其重力的倍。(g=10 m/s²)
(1)求H的大��；
(2)試討論此球能否到達(dá)BDO軌道的O點(diǎn)，并說(shuō)明理由；
(3)小球沿軌道運(yùn)動(dòng)后再次落到軌道上的速度的大小是多少？

Answer 1

解：(1)設(shè)小球通過(guò)D點(diǎn)的速度為v，通過(guò)D點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的支持力為F。則有
 
小球從P點(diǎn)落下直到沿光滑軌道運(yùn)動(dòng)到D的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒，有

由上二式可得
(2)設(shè)小球能夠沿豎直半圓軌道運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的最小速度為v_c，則有

設(shè)小球至少應(yīng)從H_c高處落下，且滿足
由上二式可得，故可知小球可以通過(guò)O點(diǎn)
(3)小球由H落下通過(guò)O點(diǎn)的速度為：
小球通過(guò)O點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球經(jīng)時(shí)間t落到AB圓弧軌道上，建立如圖所示的坐標(biāo)系，有：
 
x=v₀t，
且x²+y²=R²
由上三式可解得：t=1 s
落到軌道上速度的大小為