Question

20．如圖所示，在封閉圓柱形筒頂部中心O點有一根長為L的細繩，繩的下端掛有一個質(zhì)量為m的小球，小球在水平面內(nèi)做圓周運動．已知圓筒半徑R=3L，繩能承受的最大拉力T_m=2mg．當小球速度緩慢地增大到繩斷裂后，小球恰好落到圓筒邊緣．（小球不與圓筒壁碰撞，忽略空氣阻力，重力加速度為g，結(jié)果可用根式表示）求：
（1）繩斷裂瞬間小球的速率v₀；
（2）繩斷裂后小球被拋出到落到圓筒邊緣的時間t；
（3）圓筒的高度H；
（4）小球落到筒底時的速率v．

Answer 1

分析 （1）小球在水平面仙做圓周運動時，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解速度v₁；
（2）小球在繩子斷開后做平拋運動，由幾何關系結(jié)合x=vt即可求出小球被拋出到落到圓筒邊緣的時間t；
（3）結(jié)合h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$即可求出H；
（4）根據(jù)動能定理求得小球落到筒底時的速率v．

解答 解：（1）分析小球的受力情況，
豎直方向有：Tcosθ=mg
水平方向有：Tsinθ=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{Lsinθ}$
聯(lián)立解得：θ=60°，v₀=$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$
（2）由幾何知識得：
R=$\sqrt{{（Lsinθ）}^{2}+{（{v}_{0}t）}^{2}}$=3L
代入數(shù)據(jù)得：t=$\sqrt{\frac{11L}{2g}}$
（3）由平拋運動的規(guī)律，有
  h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
又：H=Lcos60°+h
解得h=$\frac{11}{4}L$
所以H=h+Lcosθ=$\frac{13}{4}$L
（4）由動能定理有：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$$-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v=$\sqrt{7gL}$
答：（1）繩斷裂瞬間小球的速率是$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$；
（2）繩斷裂后小球被拋出到落到圓筒邊緣的時間是$\sqrt{\frac{11L}{2g}}$；
（3）圓筒的高度是$\frac{11}{4}L$；
（4）小球落到筒底時的速率是$\sqrt{7gL}$．

點評 本題主要考查了平拋運動的基本公式及向心力公式的應用，要求同學們能畫出小球運動的軌跡，能結(jié)合幾何關系解題，難度適中．