Question

16．如圖所示，在豎直平面內(nèi)的光滑管形圓軌道的半徑為R（管徑遠小于R），小球a、b大小相同，質(zhì)量均為m，其直徑略小于管徑，均能在管中無摩擦運動．兩球先后以相同速度v通過軌道最低點，且當小球a在最低點時，小球b在最高點，以下說法正確的是（　　）

• A． 當小球b在最高點對軌道無壓力時，小球a比小球b所需向心力大4mg
• B． 當v=$\sqrt{5gR}$時，小球b在軌道最高點對軌道壓力為mg
• C． 速度v至少為$\sqrt{5gR}$，才能使兩球在管內(nèi)做完整的圓周運動
• D． 只要兩小球能在管內(nèi)做完整的圓周運動，就有小球a在最低點對軌道的壓力比小球b在最高點對軌道的壓力大6mg

Answer 1

分析 要使小球能通過最高點，只要小球的速度大于零即可；而當向心力等于重力時，小球?qū)�軌道沒有壓力，由向心力公式可求得小球在最高點時速度；再由機械能守恒可求得小球在最低點時的速度，及最低點時所需要的向心力，即可求得最低點與最高點處壓力的差值．

解答 解：A、當小球b在最高點對軌道無壓力時，所需要的向心力 F_b=mg=m$\frac{{v}_^{2}}{R}$
從最高點到最低點，由機械能守恒可得，mg•2R+$\frac{1}{2}$mv_b²=$\frac{1}{2}$mv_a²．
對于a球，在最低點時，所需要的向心力 F_a=m$\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$=5mg
所以小球a比小球b所需向心力大4mg，故A正確．
B、由上解得：a在最低點時的速度  v_a=$\sqrt{5gR}$，可知，當v=$\sqrt{5gR}$時，小球b在軌道最高點對軌道壓力為零，故B錯誤．
C、小球恰好通過最高點時，速度為零，設(shè)通過最低點的速度為v₀，由機械能守恒定律得：mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₀²，得 v₀=2$\sqrt{gR}$，所以速度v至少為2$\sqrt{gR}$，才能使兩球在管內(nèi)做完整的圓周運動，故C錯誤．
D、若v=2$\sqrt{gR}$，兩小球恰能在管內(nèi)做完整的圓周運動，小球b在最高點對軌道的壓力大小 F_b=mg．小球a在最低點時，由F_a-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，解得 F_a=5mg，小球a在最低點對軌道的壓力比小球b在最高點對軌道的壓力大4mg，故D錯誤．
故選：A

點評 小球在豎直面內(nèi)的圓周運動，若是用繩拴著只有重力小于等于向心力時，小球才能通過；而用桿或在管內(nèi)運動的小球，只要速度大于零，小球即可通過最高點．