Question

如圖所示，在軸上方有一范圍無(wú)限大的垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為-q的粒子以速度v₀從坐標(biāo)原點(diǎn)O射人磁場(chǎng)，v₀與負(fù)x軸方向的夾角為θ，不計(jì)粒子重力，求：
（1）粒子在磁場(chǎng)中飛行的時(shí)間和飛出磁場(chǎng)的點(diǎn)的x坐標(biāo)；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)離x軸能達(dá)到的最大距離是多少？
（3）如果把上面所說(shuō)的磁場(chǎng)改為方向垂直紙面向里的電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則經(jīng)過(guò)t秒鐘，帶電粒子的速度大小和方向如何？

Answer 1

分析：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后受到洛倫茲力作用而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，由幾何知識(shí)確定出軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，即可求出時(shí)間
（2）由牛頓第二定律求出軌跡的半徑，結(jié)合圓心角，即可求出粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)與原點(diǎn)O之間的距離．
（3）帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)后作類平拋運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求解．

解答：解：（1）粒子在磁場(chǎng)中受洛倫茲力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以有：qBv₀=

m v 2 0

R

則有：R=

mv0

qB

，
所以由幾何關(guān)系得：x=2Rsinθ=

2mv0sinθ

qR

又T=

2πm

qB

所以粒子在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間t=

2π-2θ

2π

?

2πm

qB

=

2(π-θ)m

qB

；
（2）如圖，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)離開(kāi)x軸的最大距離為：
H=R+Rcosθ=R（1+cosθ）=

mv0

qB

(1+cosθ)
（3）帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)后作類平拋運(yùn)動(dòng)，v₀方向勻速運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)方向勻加速運(yùn)動(dòng)
由牛頓第二定律得加速度a=

qE

m

，方向垂直紙面向外
t秒后，電場(chǎng)方向上速度v₁=at=

qE

m

t
所以合速度v=

v02+ v 2 1

=

v 2 0 +( qEt m )2

  
方向x軸正方向夾角為α
則tanα=

v0

v1

=

v0

qEt m

=

mv0

qEt

，
即α=arctan

mv0

qEt

；
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中飛行的時(shí)間為

2(π-θ)m

qB

，飛出磁場(chǎng)的點(diǎn)的x坐標(biāo)為

2mv0sinθ

qR

（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)離x軸能達(dá)到的最大距離是

mv0

qB

(1+cosθ)
（3）如果把上面所說(shuō)的磁場(chǎng)改為方向垂直紙面向里的電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則經(jīng)過(guò)t秒鐘，帶電粒子的速度為

v 2 0 +( qEt m )2

  ，
方向與x軸正方向夾角為arctan

mv0

qEt

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)t=

θ

2π

T，θ是軌跡的圓心角，根據(jù)幾何知識(shí)，軌跡的圓心角等于速度的偏向角．