Question

8．如圖甲所示，間距為d垂直于紙面的兩平行板P、Q間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩板長(zhǎng)均為L(zhǎng)，取垂直于紙面向里為磁場(chǎng)的正方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖乙所示，一比荷為$\frac{q}{m}$=5πC/kg的帶正電粒子（不計(jì)重力），t=0時(shí)刻以初速度v₀由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁場(chǎng)且平行于板面的方向水平向右射入磁場(chǎng)區(qū)．
（1）t=（t₀+1）s時(shí)，粒子速度首次變?yōu)樗�平向左，則B₁多大？
（2）滿足（1）的條件下，若B₂=$\frac{1}{2}$B₁，t₀=$\frac{2}{π}$s，要使粒子速度水平向右到達(dá)P板的右端，求板長(zhǎng)L的最小值和最大值，若板長(zhǎng)L與板間距離d的比值為k，試求該比值的取值范圍△k的最大值．

Answer 1

分析 （1）t₀時(shí)刻起粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過半個(gè)圓周速度第一次變?yōu)樗�平向左，結(jié)合周期公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（2）電場(chǎng)力和重力平衡，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)半徑公式求出粒子在不同磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，要使粒子能平行向右到達(dá)A板右邊沿，則粒子在兩種磁場(chǎng)中回旋半周的次數(shù)相同，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解

解答 解：（1）t₀時(shí)刻起粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過半個(gè)圓周速度第一次變?yōu)樗�平向左，設(shè)粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期為T₁，設(shè)粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，
有：T1=$\frac{2πm}{qB}$，且$\frac{1}{2}$T₁=1s
解得：B₁=0.2T
（2）設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁和B₂時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R₁和R₂，
有：R1=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$=$\frac{{V}_{0}}{π}$，R2=$\frac{m{V}_{0}}{q{B}_{2}}$=$\frac{2{V}_{0}}{π}$，
要使粒子能平行向右到達(dá)A板右邊沿，則粒子在兩種磁場(chǎng)中回旋半周的次數(shù)相同，設(shè)為n，有：
d=2n（R₁+R₂）=$\frac{6n{V}_{0}}{π}$，
Lmin=nv0t0=$\frac{2n{V}_{0}}{π}$，
L_max=（n+1）v0t0=$\frac{2（n+1）{V}_{0}}{π}$（n=1，2，3，…）
k_max=$\frac{2n（{R}_{1}+{R}_{2}）}{n{V}_{0}{t}_{0}}$=3，
k_min=$\frac{2n（{R}_{1}+{R}_{2}）}{（n+1）{V}_{0}{t}_{0}}$=$\frac{3n}{n+1}$，（n=1，2，3，…）
△k=kmax-kmin=$\frac{3}{n+1}$，當(dāng)n=1 時(shí)，△k有最大值，且最大值為：△k_max=1.5．
答：（1）B₁的大小為0.2T；
（2）比值的取值范圍△k的最大值為1.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，知道電場(chǎng)力和重力平衡，受洛倫茲力提供向心力，做圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合半徑公式、周期公式進(jìn)行求解，第三問對(duì)數(shù)學(xué)能力要求較高，屬于壓軸部分，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練