Question

17．如圖所示，水平軌道AHB的B端與半徑R=0.2m的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，半徑OC水平，H點左側(cè)光滑，HB間粗糙，HB長L=2m，光滑軌道AB上有P、Q兩個物體（可視為質(zhì)點），P物體的質(zhì)量m_P=0.4㎏，Q物體的質(zhì)量m_Q=0.05kg，P、Q兩個物體分別與一輕彈簧兩端栓接，開始時彈簧處于原長，兩物體均處于靜止?fàn)顟B(tài)，物體Q被水平速度為v₀=20m/s，質(zhì)量m=0.05kg的子彈擊中（打擊時間極短），子彈嵌在其中，當(dāng)物體P的速度第一次達(dá)到最大值時，彈簧與物體P的栓接處突然脫落（此時P尚未運動到H點）物體P運動至B點后滑上豎直軌道且沒有脫離該圓弧軌道，g取10m/s，求：

（1）子彈打擊物體Q后，物體Q獲得的速度；
（2）運動過程中彈簧的最大彈性勢能；
（3）軌道HB間動摩擦因數(shù)的范圍．

Answer 1

分析 （1）對子彈和物體Q組成的系統(tǒng)，運用動量守恒求出物體Q獲得的速度．
（2）當(dāng)三者速度相等時，彈簧的彈性勢能最大，結(jié)合動量守恒求出共同的速度，根據(jù)能量守恒求出運動過程中彈簧的最大彈性勢能．
（3）根據(jù)動量守恒和能量守恒求出彈簧第一次恢復(fù)原長時，物體P和Q的速度，抓住物體不會離開軌道，通過討論：1、物體在BC間速度為零，2、物體恰好通過最高點，結(jié)合動能定理和牛頓第二定律求出動摩擦因數(shù)的范圍．

解答 解：（1）設(shè)子彈射入木塊Q時，二者的共同速度為v_Q，取子彈的初速度方向為正方向，由動量守恒得，
mv₀=（m_Q+m）v_Q，
解得${v}_{Q}=\frac{m{v}_{0}}{{m}_{Q}+m}=\frac{0.05×20}{0.05+0.05}$=10m/s．
（2）當(dāng)三者速度相等時，彈簧的彈性勢能最大，規(guī)定向右為正方向，由系統(tǒng)動量守恒得，
（m_Q+m）v_Q=（m_P+m_Q+m）v_PQ，
代入數(shù)據(jù)解得v_PQ=2m/s，
根據(jù)能量守恒得，${E}_{p}=\frac{1}{2}（{m}_{Q}+m）{{v}_{Q}}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{P}+{m}_{Q}+m）{v}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得E_p=4J．
（3）當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長時，物體P的速度最大，
規(guī)定向右為正方向，由動量守恒得，（m_Q+m）v_Q=（m_Q+m）v_Q′+m_pv_p′，
由能量守恒得，$\frac{1}{2}（{m}_{Q}+m）{{v}_{Q}}^{2}=\frac{1}{2}（{m}_{Q}+m）{v}_{Q}{′}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{p}{v}_{p}{′}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得v_p′=4m/s，v_Q′=-6m/s
①若物體P運動至BC間某點速度為零，物體也不會脫離軌道，滿足：$0＜\frac{1}{2}{m}_{p}{{v}_{B}}^{2}≤{m}_{p}gR$，
則B點速度$0＜{v}_{B}≤\sqrt{2gR}$，
從H到B的過程中，由動能定理得，$-μ{m}_{p}gL=\frac{1}{2}{m}_{p}{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{p}{v}_{p}{′}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得0.3≤μ＜0.4．
②若物體P恰好能過D點也不會脫離軌道，滿足：
${m}_{p}g=\frac{{m}_{p}{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
${m}_{p}g•2R+\frac{1}{2}{m}_{p}{{v}_{D}}^{2}≤\frac{1}{2}{m}_{p}{{v}_{B}}^{2}$，
B點的速度有：$\sqrt{5gR}≤{v}_{B}$，
從H到B的過程，由動能定理得，$-μ{m}_{p}gL=\frac{1}{2}{m}_{p}{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{p}{v}_{p}{′}^{2}$，
解得μ≤0.15，
因此，軌道HB間動摩擦因數(shù)的范圍為：μ≤0.15或0.3≤μ＜0.4．
答：（1）子彈打擊物體Q后，物體Q獲得的速度為10m/s；
（2）運動過程中彈簧的最大彈性勢能為4J；
（3）軌道HB間動摩擦因數(shù)的范圍：μ≤0.15或0.3≤μ＜0.4．

點評 本題考查了動量守恒定律、能量守恒定律、動能定理、牛頓運動定律的綜合運用，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生能力要求較高，知道三者速度相等時，彈簧的彈性勢能最大．注意物體不離開軌道，要分情況討論，即物體不越過四分之一軌道或過最高點都不會脫離軌道．