Question

如圖所示,不可伸長(zhǎng)的絕緣輕繩長(zhǎng)為R,一端系于O點(diǎn),另一端系一質(zhì)量為m、電量為+q的點(diǎn)電荷，點(diǎn)電荷可在xoy平面內(nèi)繞O點(diǎn)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖甲所示，本題計(jì)算中忽略點(diǎn)電荷的重力。⑴當(dāng)點(diǎn)電荷以速率v₀沿y方向通過A（R，0）點(diǎn)的瞬間，在空間中加沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₀，要使點(diǎn)電荷能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E₀需滿足何條件？⑵在⑴問中，其他條件不變，將空間中的電場(chǎng)用垂直于xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₀需滿足何條件？⑶變化的磁場(chǎng)周圍激發(fā)感生電場(chǎng)，若上述磁場(chǎng)隨時(shí)間均勻，會(huì)在點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)的圓形軌道上產(chǎn)生一個(gè)環(huán)形電場(chǎng)，其電場(chǎng)線是閉合的，各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等�，F(xiàn)在空間加一垂直xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感強(qiáng)度B變化情況如圖乙所示，t＝0時(shí)刻點(diǎn)電荷的速率為v₀，輕繩一直處于伸直狀態(tài)。試求0～T時(shí)間內(nèi)，軌道中形成的感生電場(chǎng)E_感的大小，并在圖丙中作出點(diǎn)電荷在0～5T時(shí)間內(nèi)v～t圖象，要求寫出主要的分析過程。

Answer 1

⑴E₀≤ ⑵B₀≤ ⑶E_感=

⑴點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)到最左端時(shí)繩子張力最小，設(shè)此時(shí)速度大小為 v,由動(dòng)能定理有

—qE₀×2R=     ①    
點(diǎn)電荷在最左端：qE₀+F=        ②
當(dāng)F≥0時(shí)，解得：E₀≤
⑵磁場(chǎng)垂直紙面向內(nèi)，對(duì)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的洛倫茲力始終指向圓心，對(duì)任一點(diǎn)有：
Bqv₀+F^’=  得F^’=—Bqv₀  當(dāng)F^’≥0時(shí)，解得：B₀≤
⑶0到T：E=, 產(chǎn)生的感生電場(chǎng)E_感=
①0到T內(nèi)：磁感強(qiáng)度均勻增加，產(chǎn)生的感生電場(chǎng)大小一定，點(diǎn)電荷在圓形軌道上做勻加速圓周運(yùn)動(dòng)，加速度
a=   
經(jīng)時(shí)間T后，速度大小為v₁=v₀+aT=v₀+
②T到2T內(nèi)：磁感強(qiáng)度不變，產(chǎn)生的感生電場(chǎng)為0，點(diǎn)電荷在圓形軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度v₁不變。
③2T到4T內(nèi)：磁感強(qiáng)度均勻減小，產(chǎn)生的感生電場(chǎng)大小一定，點(diǎn)電荷在圓形軌道上做勻減速圓周運(yùn)動(dòng)，
  
經(jīng)過2T，v₂=v₁—a^’2T=V₀+—= V₀
④4T到5T內(nèi)：磁感強(qiáng)度不變，產(chǎn)生的感生電場(chǎng)為0，點(diǎn)電荷在圓形軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度v₀不變。
V—t圖象如圖所示。